Propriedades Físicas dos Cristais Descritas com Tensores de Segunda Ordem

III.2.1 – Propriedades Físicas dos Cristais Descritas com Tensores de Segunda Ordem

Permeabilidade magnética e dielétrica; impermeabilidade e susceptibilidade; eletrocondutibilidade e resistividade; condutividade e expansão térmica; efeito piezocalorífico etc.; descrevem-se nos cristais mediante o tensor de segunda ordem. Num sistema de coordenadas ortogonal, a lei diferencial de Ohm4 para os cristais será:

J1 = S11E1 + S12E2 + S13E3

J2 = S21E1 + S22E2 + S23E3

J3 = S31E1 + S32E2 + S33E3

Antes de prosseguirmos, vejamos dois princípios fundamentais da cristalofísica:

Princípio de Neumann9

A simetria das propriedades físicas de um cristal (entende-se como simetria da superfície tensorial mediante a qual se descreve a dita propriedade) está ligada com o seu grupo pontual de simetria. Esta relação se estabelece pela lei fundamental da cristalofísica conhecida como princípio de Neumann:

O grupo de simetria de qualquer propriedade física do cristal deve incluir um grupo pontual de simetria do cristal”.

Segundo o princípio de Neumann, a propriedade física do cristal deve ter todos os elementos da simetria do cristal.

Princípio de Curie10

Se no cristal atua um agente físico que possui uma simetria determinada, a simetria deste cristal situado no campo de ação do agente varia, e pode ser determinada por meio do princípio de superposição de simetrias, chamado princípio de Curie:

O cristal que se encontra sob ação de um agente exterior possuirá aqueles elementos de simetria que são comuns tanto para o cristal na ausência do agente, como para o agente na ausência do cristal”.

Para aclarar a simetria do fenômeno resultante, tem importância não só a simetria dos fenômenos em interação como também a disposição mútua de seus elementos de simetria. Usando a regra de soma de Einstein, podemos escrever a lei de Ohm como:

Ji = Sij Ej (i,j = 1,2,3) (1)

Os tensores de segunda ordem que descrevem as propriedades acima são simétricos, o que reduz o número de componentes independentes de 9 para 6.

Superfície Característica de um Tensor Simétrico de Segunda Ordem

As propriedades em questão, bem como a sua anisotropia e afinidades com a simetria do cristal, podem ser bem compreendidas através da interpretação geométrica dos tensores de segunda ordem como superfícies de segundo grau, cuja equação geral é:

S11x12+S22x22+S33x32+2S32x3x2+2S13x1x3+2S12x1x2=1(2)

A equação acima pode ser escrita dessa forma em virtude da simetria do tensor (Sij = Sji). Esta poderia ser, por exemplo, a equação da superfície característica da eletrocondutibilidade específica do cristal.

As superfícies de segunda ordem possuem eixos principais nas três direções perpendiculares entre si. Se tomarmos os eixos principais como eixos coordenados, a equação acima se torna:

S11x12+ S22x22 + S33x32 = 1 (3)

O tensor de segunda ordem no sistema de coordenadas principal terá uma forma diagonal:

S11

0

0

 

S1

0

0

0

S22

0

ou

0

S2

0

0

0

S33

 

0

0

S3

Os valores S1, S2 e S3são as componentes principais do tensor de eletrocondutibilidade específica. No sistema principal de coordenadas, as equações em (1) são simplificadas:

J1 = S1E1 ; J2 = S2 E2 ; J3 = S3E3

Se o campo elétrico está aplicado na direção x1, e E2 = E3 = 0, então J2 = J3 = 0 e J = E. As mesmas considerações são válidas para x2 e x3. Por isso, dizemos que os eixos principais nos cristais são as direções ao longo das quais os vetores de ação e reação coincidem na direção.

Propriedades Geométricas

A magnitude do raio vetor da superfície característica r em uma direção qualquer está relacionada com a magnitude que caracteriza a propriedade correspondente na mesma direção, por exemplo a propriedade S, com a correlação:

S = 1 / r2

Se a propriedade dada faz parte da equação de interação vetor-vetorial (ação vetorial, reação vetorial), como isso acontece na lei de Ohm, nesse caso a superfície característica da propriedade nos dá a possibilidade de determinar a direção do vetor de reação segundo a direção do vetor de ação e vice-versa.

A magnitude de uma propriedade numa dada direção, como acabamos de ver, está relacionada com o inverso do quadrado da distância (raio vetor).

N.Perelomova, M. Taguieva – Problemas de Cristalofísica – Ed. Mir, 1975 – Moscou – URSS.

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