Coordenadas Normais no Sistema Quântico

V.3 – Coordenadas Normais no Sistema Quântico

De acordo com o princípio da correspondência, é sempre possível recuperar as equações clássicas do movimento da mecânica quântica, contanto que cada variável clássica tenha sido substituída pelo valor esperado do correspondente operador quântico.

Consideremos o estado estacionário de n-fônon ‌׀n>, e admitamos a variável Q deslocada de uma distância є no instante t=0.

׀Ψn(t=0)>

=

exp

(

-i

ћ

є^p

)

׀n>

=

 

=

exp

{

є

(

) 1/2

+-â)

}

׀n>

(72)

A omissão dos índices α e q visou simplicidade de notação, e os operadores correspondentes às coordenadas P e Q serão ^P e ^Q, assim como â+ e â. O valor de ^P substituído acima, foi sacado das equações (66), onde foram definidos â+ e â. A equação no tempo desta função de onda segue a equação Schrödinger do movimento.

[

H,â+(t)

]

=

δ

δt

â+(t)

=

ћωâ+(t)

(73)

que tem solução

â+(t)

=

â+e-iωt

(74)

Assim,

׀Ψn(t)>

=

e-(i/ћ)ωnt

exp

{

є

(

)1/2

(

â+e-iωt-âeiωt

)

}

׀n>

(75)

Dessa maneira, a função de onda tem todas as propriedades clássicas exigidas:

<^Q>

=

єcosωt

 

<^P>

=

– mωєsenωt

 

<H>

=

ωn

+

1

2

є22

(76)

Para o oscilador puro considerado aqui, não há limite para a amplitude є. Na prática, todavia, a maioria dos sistemas tornam-se anarmônicos para grandes amplitudes de oscilação. Mostraremos agora que, para uma amplitude infinitesimal, qualquer hamiltoniana tem as propriedades clássicas correspondentes de um oscilador harmônico.

Para qualquer hamiltoniana é possível definir os operadores de excitação e de desexcitação,  âα+ e âα, tal que

âα+‌|0>

=

׀α>

 

âα׀α>

=

‌|0>

 

âα‌|0>

=

0

(77)

Além disso, esses operadores obedecem equações do movimento do tipo do oscilador harmônico

[

H,âα+

]

|0>

=

ћωαâα+

|0>

 

[

H,âα

]

|0>

=

-ћωαâα

|0>

 

[

âαα+

]

|0>

=

|0>

(78 )

As coordenadas podem também ser definidas como

^Qα

=

(

ћ

2 mαωα

) 1/2

α+α)

 

^Pα

=

(

‌ћ mαωα

2

) 1/2

α+α)

(79)

por analogia com as expressões que definem âα+ e âα, com uma escolha arbitrária do parâmetro de massa. Se gerarmos agora a função de onda dependente do tempo

׀Ψ(t)>

=

e-iω0t/ћ

exp

{

є

(

mαωα

)1/2

(

âα+e-iωtαeiωt

)

}

|0>

(80)

Então, em virtude das relações acima, obtemos novamente as relações clássicas

<^Q>

=

єcosωαt

+

0(є2)

 

<^P>

=

– mαωαєsenωαt

+

0(є2)

 

<H>

=

ω0

+

1

2

є2mαωα2

+

0(є3)

(81)

Enfatizamos que essas relações são válidas para qualquer hamiltoniana. A diferença é que, para a hamiltoniana de um oscilador não harmônico, elas são válidas somente para indicação da ordem de amplitude є, que deve conseqüentemente ser infinitesimal. É significativo, portanto, descrever ^Pα e ^Qα como coordenadas normais e as correspondentes oscilações como modos normais. Preferimos, todavia, descreve-las como pseudo-coordenadas uma vez que, como os operadores âα+ e âα, elas em geral obedecem às relações de comutação do oscilador somente quando operando sobre o estado fundamental:

[

^Qα,^Pk

]

|0>

=

δkαiћ

|0>

(82)

 

 

Rowe, D.J. – Nuclear Collective Motion, Methuen & Co., London 1970.

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