A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 6)

Parte 6  – Dificuldade com a Análise Linear

É assim chamada porque se faz uma linearização do sistema não linear para análise nas vizinhanças de cada ponto crítico.

Além do fato de nem sempre ser possível a linearização de sistemas não lineares, a estrutura dos pontos críticos não lineares pode ser muito mais complicada que aquela dos sistemas lineares. Podem haver pontos de sela tendo muitas direções chegando ou saindo, e nós para os quais as trajetórias não são assintóticas a linhas retas quando t→+∞. Não existem métodos matriciais simples para identificação da estrutura de tais pontos críticos não lineares. Freqüentemente, são exigidas análises atemporais.

Há uma dificuldade mais sutil com a análise linear do ponto crítico quando o método matricial sugere que o ponto crítico é um centro. Quando o sistema é linear, então podemos garantir que se os autovalores são imaginários, o ponto crítico é um centro. Todavia, se uma aproximação linear para um sistema não linear tem um centro, não é ainda correto concluir que o sistema não linear também tem um centro. Qualquer distorção ou perturbação de uma órbita fechada, não importa quão pequena seja, pode resultar numa órbita aberta (pequenas distorções de nós, pontos de espiral e pontos de sela não mudam o aspecto qualitativo desses pontos críticos). Portanto, ainda que uma aproximação linear para o sistema não linear tenha um centro, o sistema não linear pode realmente ser um ponto de espiral.

Para provar que um ponto crítico é realmente um centro, devemos demonstrar a existência de órbitas fechadas. Métodos aproximados não devem ser usados na prova. A técnica usual consiste da integração do sistema de equações diferenciais novamente, para construir uma quantidade independente do tempo que é freqüentemente chamada de uma integral de energia. Naturalmente, uma integral de energia para o sistema será muito difícil encontrar quando os fatores de integração apropriados não são óbvios. Vejamos como construir integrais de energia:

Exemplo 2

O sistema não linear em (124) tem um ponto crítico em (1,1) que foi sugerido, usando a análise matricial, ser um centro. Para provar essa asserção, multiplicaremos as equações pelos fatores de integração [(1-y1)/y1,(1-y2)/y2] e somaremos as equações resultantes. A nova equação está na forma de uma derivada total. Integrando com relação a t, resulta:

y1+y2

ln(y1y2)

=

C

(125)

que representa uma família de curvas fechadas contendo o ponto (1,1). Provou-se, assim, que (1,1) é um centro.

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 2)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 3)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 4)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 5)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 7)

%d blogueiros gostam disto: