Módulo de Young, Módulo de Deslizamento e Coeficiente de Poisson

Para descrever as propriedades elásticas dos meios tanto isotrópicos como anisotrópicos, recorre-se freqüentemente às seguintes constantes:

a- O módulo de Young E, que caracteriza as propriedades elásticas do meio em uma direção, determina-se pela razão da tensão mecânica nesta direção, pela magnitude da deformação na mesma direção;
b- O coeficiente de Poisson S, que se define como a razão da deformação da compressão transversal pela deformação da tração longitudinal, originadas por uma tensão mecânica;
c- O módulo de deslizamento m, que se define como a razão do esforço de deslocamento pela deformação por cisalhamento.

Superfície de Índices dos Coeficientes de Elasticidade

Posto que não se pode representar completamente as propriedades elásticas dos cristais com uma só superfície, usa-se formar a superfície de índices para cada coeficiente de elasticidade. Tal superfície demonstra de um modo claro a variação deste coeficiente em função da direção do cristal. Praticamente, é importante a superfície que representa a variação do módulo de Young segundo a direção. O raio vetor dessa superfície é proporcional à magnitude do módulo de Young na direção do raio vetor.

N.Perelomova, M. Taguieva – Problemas de Cristalofísica – Ed. Mir, 1975 – Moscou – URSS.

Quântica

Na natureza intrínseca de todos os fenômenos,
tudo evolui aos saltos quânticos.

Esse contínuo burocrático,
primeiro uma coisa e depois outra,
é ardilosa armadilha do Samsara,
um visgo, um caldo de cultura.

Ser é tornar-se ser, não formar-se ser.
Então, torna-te o que és.

Quântica
Foto de André Felipe. Local: Sítio da Dôra em 27/02/2006.

O Nirvana dos Dois Veículos

“Se os seres viventes ouvirem somente o Veículo do Buda, eles não desejarão ver o Buda ou aproximar-se dele. Ao invés disso, pensarão: ‘o caminho do Buda é longo e distante; ele pode ser seguido apenas após muito trabalho e sofrimento’. O Buda sabe que seus pensamentos são débeis e rebaixados. Quando eles estão no meio do caminho, o Buda usa o poder dos meios hábeis para pregar dois Nirvanas[1] com o intuito de prover-lhes um descanso. Se os seres viventes residirem nesses dois estados, o Tathagata então lhes diz: ‘Ainda não terminaram o seu trabalho. O estado no qual vocês estão residindo está próximo da sabedoria do Buda. Vocês devem observar e ponderar sobre isto: o Nirvana que vocês atingiram não é o verdadeiro Nirvana. O Tathagata utilizou-se do poder dos meios expedientes e, dentro do Veículo Único do Buda, discriminou e pregou como se fossem três’”.

 


[1] Correspondentes aos Nirvanas do Ouvinte e do Pratyekabuda, que são os dois veículos menores.

Extraído do CAP. 07: A Parábola da Cidade Fantasma.

Nirvana
Foto de Marcos Ubirajara. Local: Sítio da Dôra em 07/10/2007.

A Energia do Cristal Deformado

O trabalho realizado por unidade de volume, sendo pequena a variação de deformação do cristal, se expressa por δW = ti δri. Quando essa mudança da deformação é isométrica e reversível, δW pode ser igualado ao crescimento da energia livre δQ , isto é,

δQ = δW = ti δri

Se for cumprida a lei de Hooke, a equação toma a forma:

δQ = cij rj δri

donde,

δQ / δri = cij rj

diferenciando em relação a rj , vem

δ / δri (δQ / δri) = cij

Posto que Q é função somente do estado do corpo, que se determina pelas componentes de deformação, a ordem de diferenciação não tem importância, portanto,

cij

=

cji

 

e

 

sij

=

sji

Graças a essa simetria, o número de rigidezes e compressibilidades cai de 36 para 21. Integrando a expressão diferencial acima, obtemos que o trabalho requerido pela unidade de volume do cristal necessário para criar a deformação ri , a chamada energia de deformação, é igual a 1/2 cij ri rj (que não deixa de ser um potencial do tipo 1/2 k x2 , correspondente à mola).

 

N.Perelomova, M. Taguieva – Problemas de Cristalofísica – Ed. Mir, 1975 – Moscou – URSS.

O Buda da Direção Nordeste, da Hora do Boi

O Buda falou aos Monges: “Estes dezesseis Bodhisattvas sempre se deleitam na pregação do Sutra da Flor de Lótus da Lei Maravilhosa. Cada um desses Bodhisattvas converteu seres viventes em número igual a seiscentas miríades de milhões de Nayutas de grãos de areia do rio Ganges que, vida após vida, nasceram juntos com os Bodhisattvas[1] e ouviram a Lei a partir deles, entendendo-a e compreendendo-a completamente. Por esta razão, eles encontraram-se com quarenta bilhões de Budas, Honrados pelo Mundo, e até hoje nunca pararam de fazê-lo”.

 “Monges, digo-lhes que esses discípulos do Buda, os dezesseis Shramaneras, todos agora atingiram o Anuttara-Samyak-Sambodhi, e nas terras das dez direções, estão presentemente pregando a Lei. Eles têm como seus séqüitos ilimitadas centenas de milhares de milhões de Bodhisattvas e Ouvintes”.

“Dois tornaram-se Budas no Leste: um é chamado Akshobhya, na Terra da Felicidade; e o outro é chamado Pico Sumeru. Dois tornaram-se Budas no Sudeste: um é chamado Som do Leão; o outro é chamado Marca do Leão. Dois tornaram-se Budas no Sul: um é chamado Morador do Espaço; o outro é chamado Extinção Eterna. Dois tornaram-se Budas no Sudoeste: um é chamado Marca Real; o outro é chamado Marca do Brahma. Dois tornaram-se Budas no Oeste: um é chamado Amitayus; o outro é chamado Salvador de todos os Mundos do Sofrimento e da Angústia. Dois tornaram-se Budas no Noroeste: um é chamado Fragrância da Tamalapatrachandana e das Penetrações Espirituais; o outro é chamado Marca do Sumeru. Dois tornaram-se Budas no Norte: um é chamado Nuvem da Emancipação; e o outro é chamado Rei da Nuvem da Emancipação. No Nordeste há um Buda chamado Destruidor de Todos os Temores Mundanos; e o outro Buda, o décimo sexto, sou eu mesmo, Buda Shakyamuni, aqui no mundo Saha, onde alcancei o Anuttara-Samyak-Sambodhi”.


[1] Referindo-se aos seres viventes presentes na assembléia e que, conforme os dizeres que seguem, já cumpriram os votos de servir a quarenta bilhões de Budas. A seguir, o Buda Shakyamuni revela-se ser o 16o. filho do Buda Vitória da Sabedoria da Grande Penetração, pregador original do Sutra da Flor de Lótus da Lei Maravilhosa. Deve-se atentar para a relação entre o Buda e os seres viventes presentes na assembléia, pois, no final do capítulo anterior, ele proclama: “Quanto às minhas próprias e vossas causas e condições anteriores, eu agora direi: todos vocês, ouçam bem!”

Extraído do CAP. 07: A Parábola da Cidade Fantasma

Hora do Boi
Foto de Marcos Ubirajara. Local: Sítio da Dôra em Maio/2007.

Propriedades Elásticas dos Cristais. A Lei de Hooke

Sob ação de tensões mecânicas, os cristais experimentam deformações. Se a magnitude da tensão é menor que o limite de elasticidade, a deformação é reversível. Sendo tensões suficientemente pequenas, a deformação é proporcional à magnitude da tensão aplicada. Se ao cristal é aplicada uma tensão uniforme arbitrária (tkl), a deformação homogênea surgida é tal que cada uma das suas componentes rij está vinculada linearmente com todas as componentes do tensor de tensões, isto é:

rij = sijkl tkl (i, j, k, l = 1, 2, 3).

Esta expressão é a lei de Hooke na sua forma generalizada, Aqui, sijkl são as constantes de compressibilidade elástica do cristal. No total, há 81 coeficientes sijkl. A lei de Hooke pode ser escrita também como

tij = cijkl rkl ,

onde os cijkl são as constantes de rigidez elástica do cristal. Os coeficientes sijkl e cijkl formam os tensores de quarta ordem. Devido à simetria do tensor de deformações e do tensor de tensões, as componentes dos tensores sijkl e cijkl são simétricas com relação aos índices i, j, k, l; isto é,

sijkl

=

sjikl

,

sijkl

=

sjikl

sijkl  

=

sijlk

,

sijkl

=

sijlk

As correlações acima reduzem o número de componentes para 36. Graças à simetria de sijkl e cijkl , podemos utilizar notações matriciais.

ri

=

sij

tj

(i, j = 1, 2, 3, 4, 5 e 6)

ti

=

cij

rj

(i, j = 1, 2, 3, 4, 5 e 6)

A introdução da expressão matricial diminui o número de somandos do segundo membro da equação inicial (rij = sijkl tkl ), porém impõe a introdução dos multiplicadores 2 e 4 segundo a regra seguinte:

sijkl

=

smn

,

quando m e n são iguais a 1, 2, 3

2sijkl

=

smn

,

quando m ou n são iguais a 4, 5, 6

4sijkl

=

smn

,

quando m e n são iguais a 4, 5, 6

 

N.Perelomova, M. Taguieva – Problemas de Cristalofísica – Ed. Mir, 1975 – Moscou – URSS.

Ervas Medicinais

Todos os seres viventes que ouvem a minha Lei recebem-na de acordo com a sua capacidade,

pois esses seres residem em vários níveis[1].

Eles podem residir em meio aos humanos ou seres celestiais,

ou em meio aos Reis Sábios Giradores de Roda,

Reis Shakra ou Reis Brahma:

estas são as pequenas ervas[2].

 

Aqueles que conhecem a Lei sem falhas,

aqueles que podem atingir o Nirvana,

obtendo o poder das Seis Penetrações Espirituais e atingindo as Três Compreensões,

residindo sozinhos nos bosques das montanhas,

sempre praticando o Samadhi Ch’na,

atingindo a certificação para o estado de iluminação,

estes são as ervas de tamanho médio[3].

 

Aqueles que buscam o lugar do Honrado pelo Mundo,

dizendo: ‘ Nós nos tornaremos Budas!’,

praticando vigorosamente a concentração,

esses são ervas superiores[4].

 

Além destes, aqueles discípulos do Buda que orientam seu pensamento para a Via do Buda,

sempre praticando a compaixão,

sabendo que eles tornar-se-ão Budas de certo,

sem dúvida,

esses são chamados pequenas árvores[5].

 

Aqueles que residem nas penetrações espirituais,

girando a irreversível roda da Lei,

salvando incontáveis centenas de milhares de milhões de seres viventes,

tais Bodhisattvas são chamados grandes árvores[6].

 

O Buda prega a Lei igualmente,

tal como a chuva de um único sabor.

De acordo com as naturezas dos seres viventes,

eles recebem-na diferentemente,

tal como as ervas e árvores,

cada uma recebendo uma medida diferente.

 


[1] Níveis neste caso têm a conotação dos estados básicos de vida em que podem se encontrar os vários seres viventes e as várias relações próprias desses estados. Na passagem acima, o Buda afirma não fazer distinção entre os seres, quaisquer que sejam as circunstâncias que cercam suas vidas. Este ensino ultrapassa aqueles baseados na distinção dos 10(dez) estados de vida, e que os consideram distintos. Isto não significa que essas diferentes condições de vida não existam; mas que são mutuamente possuídas por todos os seres. É isto que está a ser ensinado nesta passagem.

[2] Refere-se aos seres dos seis mundos inferiores (Inferno, Fome, Animalidade, Ira, Tranqüilidade e Alegria).

[3] Refere-se às pessoas do estado de Erudição (Ouvintes).

[4] Refere-se às pessoas do estado de Absorção (Pratyekabudas).

[5] Refere-se às pessoas do estado de Bodhisattva.

[6] Deve-se observar que o Buda faz distinção desses Bodhisattvas (Mahasattvas) chamados grandes árvores, porque levam a cabo o trabalho do próprio Buda, ou seja, as práticas visando a salvação de todos os seres viventes. Todos os demais tipos enumerados aqui, até os chamados pequenas árvores, ainda fazem apenas a prática para si, visando tão somente a própria salvação.

Extraído do CAP. 05: Ervas Medicinais.

As Três Verdades – 3a. Parte

3ª parte

Os materiais no estado sólido são arranjos geométricos de lugares ocupados por átomos ou moléculas. Chamamos esse arranjo de “rede cristalina”; e ao material no estado sólido chamamos genericamente de “cristal”. Tal como numa rede, os átomos ou moléculas ocupam os “nós” daquela rede, ligando-se um ao outro pelo “fio” da rede. Cada “nó” da rede é o centro da posição de um átomo e este é o seu estado fundamental. Todavia, o átomo não fica “estacionado” no seu lugar na rede. Ele vibra, oscila como um pêndulo em torno dessa posição, e é essa vibração que o torna visível e que confere as propriedades físicas à matéria. A visibilidade da matéria e a sua própria consistência advêm dessa constante vibração dos átomos ou moléculas em torno das suas posições de equilíbrio. Essa vibração, todavia, não é caótica e sim regida por uma lei que se propaga através do material, como uma onda; isto é, o movimento é coletivo e ondulatório. Isto significa que nunca todos os átomos passam pelo centro das suas posições ao mesmo tempo. Se assim não o fosse, a matéria teria uma existência “pulsante”, perdendo a visibilidade e consistência momentaneamente, cada vez que todos os seus átomos constituintes passassem ao mesmo tempo pela posição de equilíbrio. Por essa razão, a matéria, tal como a conhecemos, é um fenômeno ondulatório e a sua própria “existência” é conseqüência de um nível mínimo de vibração que lhe confira propriedades físicas. A este nível mínimo de vibração chamamos “energia do ponto zero”.

Como no modelo anterior, a amplitude de oscilação de um átomo em torno da sua posição de equilíbrio na rede também é discretizada (ou seja, quantizada, uma escada); isto é, existem estados ou modos de vibração. Aqui os pacotes mínimos de energia ou “quantas” absorvidos ou emitidos pelos átomos recebem o nome específico de “fônons”, os quais são unidades e agentes portadores da energia de vibração. O átomo pode ser “arrancado” da sua posição ao absorver uma quantidade de energia maior que a energia que o prende na sua posição própria da rede. É como se arrancássemos uma laranja do galho onde ela se prende à árvore. Com um pouco de força, ela sai. Quando isto acontece, o átomo migra (fica vagando) através dos vazios da rede, deixando atrás de si uma lacuna (um buraco). O número de saltos pela rede que um átomo dá até encontrar o seu lugar – ou o lugar deixado por outro átomo semelhante também deslocado – reassumindo uma posição própria, convencionou-se chamar de caminho-médio na Física. A identidade de um átomo é de natureza dinâmica e ele só existe como uma individualidade durante o tempo em que ele “vaga” sem encontrar um lugar. No mais, quando preso a uma posição própria da rede, ele é parte de uma superestrutura que dá consistência ao material, não existindo o átomo como uma individualidade. Com os “buracos” (lacunas) ocorre o mesmo. Eles só possuem uma identidade transitória, enquanto não ocupados pelos átomos. Tanto o deslocamento médio em torno da posição de equilíbrio da rede como o número de saltos que um átomo dá até encontrar um lugar (lembre-se da dança das cadeiras), fenomenologicamente são a mesma coisa: imperfeições, distorções, coisa fora do lugar. Portanto, tudo o que vemos, sondamos ou medimos pelos métodos físicos (ou seja, por interferência), são sistemas de pequenos defeitos associados dentro da perfeição (um campo primordial?). Isto me faz aceitar o fenômeno da vida, e o próprio universo conhecido, como um sistema de falhas associadas ( os nove estados ) dentro da perfeição ( Buda ). Do lado oposto de Buda (perfeição) está a amorfia, ou seja, ausência da ordem, entropia máxima, o caos ( estado de inferno ).

Temos agora um paralelo da Física para a possessão mútua (degraus entre os andares), para a transitoriedade (trânsito entre posições próprias), para a não-substancialidade (a lacuna) e para o caminho-médio (o átomo deslocado do seu lugar).

As Três Verdades – 1a. Parte.

As Três Verdades – 2a. Parte.

Espetáculo das Imperfeições
O caos no núcleo de Orion. Um assombroso espetáculo das imperfeições. “Courtesy NASA/JPL-Caltech.”

Tensor de Deformações e Princípio de Neumann

As deformações que descrevem a reação de um cristal a uma influência exterior não são sua propriedade física. Portanto, o tensor de deformações bem como o tensor de tensões, não estão sujeitos ao princípio de Neumann, a exceção das deformações originadas pela variação de temperatura (expansão térmica) de cristais. Lembremos que a expansão térmica se dá às custas da anarmonicidade na vibração térmica dos átomos em torno de suas posições na rede; isto é, às custas de defeitos cujas influências somadas resultam na deformação. Portanto, defeitos de uma maneira geral fazem exceção à regra acima, pois, trata-se de influência interior aos cristais.

Expansão Térmica:

variando-se uniformemente a temperatura de um cristal de ΔT, este experimentará uma deformação homogênea descrita por:

rij = αij ΔT

onde, os αij são coeficientes de expansão térmica que são componentes do tensor simétrico de segunda ordem. Evidentemente, existem três coeficientes principais de expansão térmica: α1, α2, α3. As direções principais correspondentes à deformação podem ser encontradas mediante as correlações

r1 = α1ΔT , r2 = α2ΔT , r3 = α3ΔT.

O Daimoku do Sutra de Lótus

Sutra de Lótus

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Eis o Daimoku do Sutra de Lótus.

“O Grande Sábio, o Honrado pelo Mundo,

em meio às multidões de seres celestiais e humanos,

proclama essas palavras dizendo:

‘Eu sou o Tathagata,

o Honrado e Duplamente Realizado.

Apareço neste mundo como uma grande nuvem,

humidificando a todos os ressequidos seres viventes,

de tal forma a que todos se libertem dos sofrimentos,

obtendo a paz, a felicidade e a alegria mundanas,

e também a alegria do Nirvana.

Todos os seres celestiais e humanos aqui reunidos,

ouçam atentamente em pensamento único.

Todos deveriam vir aqui para contemplar aquele de Honradez Insuperável.

Eu sou o Honrado pelo Mundo,

aquele que está além das comparações.

Para trazer a paz e a tranqüilidade aos seres viventes,

manifesto-me neste mundo e,

em prol da assembléia,

eu prego o doce orvalho da pura Lei.

A Lei de um único sabor,

o sabor da libertação e do Nirvana.

Usando um singelo e maravilhoso som,

eu proclamo este princípio[1] constantemente criando as causas e condições para o Grande Veículo.

Eu contemplo a tudo e a todos como sendo iguais,

sem ‘este’ ou ‘aquele’ e sem sentimentos de amor ou ódio.

Eu não tenho a ganância ou o apego,

e não tenho limites ou obstáculos.

Constantemente, para cada um,

eu prego o Dharma igualmente,

pregando para uma única pessoa como o faria para as multidões.

Eu constantemente exponho e proclamo a Lei,

e não tenho outro trabalho.

Indo, vindo, sentado ou em pé,

eu nunca me torno fatigado,

preenchendo todo o mundo como a umidade da chuva universal”.


[1] Creio que esta passagem nos proporcione um mergulho nas profundezas deste ensino. “Usando um singelo e maravilhoso som, eu proclamo este princípio (da Lei de um único sabor)”. No Capítulo 24, o Bodhisattva Som Maravilhoso ao chegar ao mundo Saha de uma terra distante chamada Adornada com Pura Luz, revela seu corpo: “Os (Grandes) Olhos do Bodhisattva eram como as imensas pétalas de um lótus azul”. Esse Bodhisattva possuía o samadhi do Lótus da Lei Maravilhosa, dentre outros inúmeros samadhis, e foi instruído pelo Buda Sabedoria do Rei da Constelação Pura Flor para não menosprezar pelo pequeno tamanho o Buda e os Bodhisattvas que ele encontraria no mundo Saha, tal como neste capítulo o Buda faz chover igualmente para todos os seres, grandes ou pequenos, vendo a todos como universalmente iguais. Daimoku (que se traduz como Grande Olho) quer dizer título. Este Bodhisattva, com seus Grandes Olhos, representa o Título do Sutra da Flor de Lótus da Lei Maravilhosa; e o seu séqüito de 84.000 (oitenta e quatro mil) Bodhisattvas, que o acompanhavam, representa o conjunto dos 84.000 caracteres do Sutra de Lótus. Este Som Maravilhoso através do qual o Buda expõe a Lei de um único sabor e proclama o seu princípio é a entoação do título do Sutra da Flor de Lótus da Lei Maravilhosa: “Sadharma Pundarika Sotaram” ou “Myoho-Rengue-Kyo”. Este samadhi e dharani têm o poder de beneficiar igualmente a todos os seres, assim como a chuva do Dharma tem um único sabor e cai igualmente para todas as plantas.

Extraído do CAP. 05: Ervas Medicinais.

Sutra de Lotus
Foto de Marcos Ubirajara. Local: Sítio da Dôra em 20/05/2007.

A Manifestação do Som Maravilhoso do Daimoku do Sutra de Lótus

A Revelação do Corpo Incorruptível do Daimoku do Sutra de Lótus

O Samadhi do Daimoku do Sutra de Lótus

Sutra de Lótus Download da 2a. Edição

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CAPITULO 1

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