A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 7)

Parte 7 – Comportamento de um Sistema Não Linear de Ordem Superior Próximo a um Ponto Crítico Estável

Próximo a um ponto Crítico Estável: um ponto crítico é estável se os autovalores do sistema de equações obtidos por linearização do sistema não linear nas vizinhanças do ponto crítico têm a parte real negativa. Isto é, de longe, o caso mais simples. Pode ser provado que todas as trajetórias de todas as equações não lineares que se originam suficientemente próximas a um ponto crítico estável, sempre decaem na direção daquele ponto crítico quando t→+∞. O efeito não linear não muda o comportamento qualitativo (ou mesmo quantitativo) de um sistema próximo a um ponto crítico estável.

Próximo a um Centro: um centro simples é um ponto crítico para o qual todos os autovalores do sistema linearizado são imaginários puros e distintos. Este caso é, talvez, o mais difícil. Para começar, a solução para o sistema linearizado não necessita ser periódoca porque as autofreqüências não devem ser mensuráveis. Por exemplo, um sistema real de quarta ordem poderia ter autovalores ±i, ±i√2. Pode-se ver que há soluções que não são periódicas. Todavia, todas as soluções para um sistema linear para um centro simples são “quase periódicas” no sentido de que existem períodos de tempo T arbitrariamente grandes, sobre os quais a solução se repete para qualquer tolerância especificada.

Matematicamente falando, para qualquer ε>0, existe uma seqüência ilimitada de períodos de tempo T1, T2, T3,… tal que, para cada Ti, |y(t+ Ti)–y(t)|<ε para todo t.

O comportamento de um sistema não linear nas vizinhanças de um centro simples pode ser ainda mais complicado. A existência de um termo não linear deve romper as órbitas de um sistema linear inteiramente. As órbitas não devem ser extensivamente “quase periódicas”. De fato, elas devem exibir um comportamento aleatório muito complicado.

Sistemas Hamiltonianos: um sistema hamiltoniano tem a forma:

dqj/dt

=

-dH/dpj

(126)

dpj/dt

=

dH/dqj

(127)

onde j=1,2,…,m e H=H(p1,p2,…pm,q1,q2,…qm)é chamado hamiltoniano.

Os sistemas hamiltonianos têm duas propriedades importantes. Primeiro, o hamiltoniano é uma integral da energia do movimento. Isto significa que

H[p(t),q(t)]

=

H[p(0),q(0)]

(128 )

 

por conservação, e

 

dH/dt[p(t),q(t)]

=

j (dH/dpjdpj/dt+dH/dqjdqj/dt)

=

0

(129)

Segundo, os sistemas hamiltonianos têm conservação de volume no espaço-fase. Isto significa que se traçamos trajetórias que se originam de todos os pontos dentro de uma região de volume V no espaço-fase, então, para todo t=0 os pontos finais dessas trajetórias após um tempo t preenchem uma reagião com o mesmo volume V, para todos os t. Matematicamente, esta condição é que o Jacobiano

J(t)

=

∂[p(t),q(t)]/∂[p(0),q(0)]

(130)

satisfaça J(t)=1 para todos os t.

Em virtude dos sistemas hamiltonianos preservarem o volume no espaço-fase, os pontos críticos estáveis devem ser centros.

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 2)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 3)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 4)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 5)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 6)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 6)

Parte 6  – Dificuldade com a Análise Linear

É assim chamada porque se faz uma linearização do sistema não linear para análise nas vizinhanças de cada ponto crítico.

Além do fato de nem sempre ser possível a linearização de sistemas não lineares, a estrutura dos pontos críticos não lineares pode ser muito mais complicada que aquela dos sistemas lineares. Podem haver pontos de sela tendo muitas direções chegando ou saindo, e nós para os quais as trajetórias não são assintóticas a linhas retas quando t→+∞. Não existem métodos matriciais simples para identificação da estrutura de tais pontos críticos não lineares. Freqüentemente, são exigidas análises atemporais.

Há uma dificuldade mais sutil com a análise linear do ponto crítico quando o método matricial sugere que o ponto crítico é um centro. Quando o sistema é linear, então podemos garantir que se os autovalores são imaginários, o ponto crítico é um centro. Todavia, se uma aproximação linear para um sistema não linear tem um centro, não é ainda correto concluir que o sistema não linear também tem um centro. Qualquer distorção ou perturbação de uma órbita fechada, não importa quão pequena seja, pode resultar numa órbita aberta (pequenas distorções de nós, pontos de espiral e pontos de sela não mudam o aspecto qualitativo desses pontos críticos). Portanto, ainda que uma aproximação linear para o sistema não linear tenha um centro, o sistema não linear pode realmente ser um ponto de espiral.

Para provar que um ponto crítico é realmente um centro, devemos demonstrar a existência de órbitas fechadas. Métodos aproximados não devem ser usados na prova. A técnica usual consiste da integração do sistema de equações diferenciais novamente, para construir uma quantidade independente do tempo que é freqüentemente chamada de uma integral de energia. Naturalmente, uma integral de energia para o sistema será muito difícil encontrar quando os fatores de integração apropriados não são óbvios. Vejamos como construir integrais de energia:

Exemplo 2

O sistema não linear em (124) tem um ponto crítico em (1,1) que foi sugerido, usando a análise matricial, ser um centro. Para provar essa asserção, multiplicaremos as equações pelos fatores de integração [(1-y1)/y1,(1-y2)/y2] e somaremos as equações resultantes. A nova equação está na forma de uma derivada total. Integrando com relação a t, resulta:

y1+y2

ln(y1y2)

=

C

(125)

que representa uma família de curvas fechadas contendo o ponto (1,1). Provou-se, assim, que (1,1) é um centro.

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 2)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 3)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 4)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 5)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 7)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 5)

Parte 5  – Análise do Ponto Crítico de Sistemas Não-Lineares Bidimensionais

Para ilustrar a utilidade e o poder da análise local do ponto crítico, nós a usaremos para deduzir as características globais de sistemas não lineares. A aproximação que usaremos será a seguinte: primeiro, identificaremos os pontos críticos; então, faremos uma análise local do sistema, muito próximo a esse ponto crítico, levando em conta o que o sistema exato poderá usualmente ser aproximado por um sistema autônomo linear próximo a um ponto crítico. Usando análise matricial, identificaremos a natureza do ponto crítico do sistema linear. Finalmente, reuniremos os resultados da nossa análise local e sintetizaremos um quadro global qualitativo da solução para um sistema não linear.

Exemplo 1

O sistema não linear,

dy1/dt

=

y1-y1y2

(124)

dy2/dt

=

-y2+y1y2

conhecido como equações de Volterra, é um modelo simples de uma relação presa-predador entre duas populações como de coelhos e raposas, ou de lacunas e instersticiais: y1 (a população de coelhos) crescerá além dos limites (exponencialmente) e y2 (a população de raposas) for zero. Todavia, se y1 é zero, então y2 decairá para zero em virtude da fome (exponencialmente).

O que acontece se y1 e y2 são inicialmente positivos?

Há dois pontos críticos, (0,0) e (1,1). Próximo a (0,0), tomaremos (y1,y2) = (ε12) e aproximaremos a equação diferencial exata para:

1/dt

ε1

(para ε12 →0)

2/dt

ε2

A solução para este sistema exibe comportamento de ponto de sela; trajetórias próximas a (0,0) aproximam-se da origem verticalmente e afastam-se horizontalmente quando t→+∞.

Próximo ao ponto (1,1), faremos (y1,y2) = (1+ε1,1+ε2) e aproximaremos a equação exata para:

1/dt

2

(para ε12 →0)

2/dt

ε1

Os auto-valores da matriz M para este sistema linear são ±i. Portanto, o ponto crítico em (1,1) é um centro tendo órbitas fechadas no sentido anti-horário quando t→+∞. A rotação no sentido anti-horário em torno de (1,1) é consistente com as direções de aproximação e afastamento das trajetórias próximas ao ponto de sela.

O que podemos inferir acerca do comportamento global?

Suponha-se que a condição inicial fosse y1(0)=y2(0)=a (0<a<1). Então, conforme t aumentasse de zero, o vetor [y1(t),y2(t)] mover-se-ia no sentido anti-horário em torno de (1,1). (Se ele se movesse no sentido horário, nós teríamos comportamento descontínuo porque para a suficientemente próximo de 1, nós sabemos que o sentido é anti-horário. Verifica-se diretamente de (124) que o sentido é anti-horário). Conforme t aumenta, o vetor deve continuar a girar em torno de (1,1). Ele não pode cruzar os eixos y1 e y2 porque esses são trajetórias em si. Uma análise profunda mostra que esta trajetória não pode aproximar-se do infinito. Portanto, para um certo t, o vetor deve rodear o ponto (1,1) e, eventualmente, reatravessar a linha que liga (0,0) e (1,1). Além disso, ele deve cruzar o ponto inicial (a,a).

Em resumo, todas as trajetórias em (124) com y1(0)>0,y2(0)>0 são fechadas e envolvem o ponto (1,1) indiferente da condição inicial para t=0. Isto nos faz lembrar dos sistemas planetários que, embora sua condição inicial seja apenas presumida pela ciência, vem a exibir este tipo de comportamento mostrado na figura. Também chamamos estes de sistemas estacionários.

Assim, as populações y1 e y2 oscilam com o tempo. Todavia, é importante notar que enquanto a conclusão de que as trajetórias são exatamente fechadas é correta, ela não pode ser justificada somente pela análise local. Embora seja freqüentemente possível inferir o comportamento global da análise local de pontos críticos instáveis e estáveis, neste exemplo a análise local dá uma descrição incompleta da natureza das trajetórias no espaço-fase.

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 2)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 3)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 4)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 6)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 7)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 4)

Parte 4  – Sistemas Autônomos Lineares

Uma vez que os sistemas lineares bidimensionais podem exibir qualquer dos comportamentos acima, torna-se apropriado estudar sistemas lineares antes de partir para sistemas não lineares. Com isto em mente, introduzimos um método fácil para resolver sistemas lineares autônomos.

O método usa álgebra matricial elementar. Um sistema autônomo bidimensional linear

 

dy1/dt

=

ay1+by2

(120)

dy2/dt

=

cy1+dy2

 

deve ser reescrito na forma

dY/dt

=

MY

(121)

É fácil verificar que se os auto-valores λ1 e λ2 da matriz M são distintos, e V1 e V2 são auto-vetores de M associados com os auto-valores λ1 e λ2 , então a solução geral de (121) tem a forma

Y(t)

=

C1V1eλ1t +C2V2eλ2t

(122)

onde C1 e C2 são constantes de integração que são determinadas pela posição inicial Y(0).

O sistema linear em (121) tem um ponto crítico na origem (0,0). è fácil classificar esse ponto crítico desde que λ1 e λ2 sejam conhecidos. Note-se que λ1 e λ2 satisfazem a condição de auto-valores

det[M-Iλ]

=

det

a-λ

b

=

λ2-λ(a+d)+ad-bc

=

0

(123)

 

 

 

c

d-λ

 

 

 

 

Se λ1 e λ2 são reais e negativos, então todas as trajetórias aproximam-se da origem quando t→ +∞ e (0,0) é um nó estável. Por outro lado, se λ1 e λ2 são reais e positivos, então todas as trajetórias afastam-se da origem (0,0) quando t→ +∞ e (0,0) é um nó instável. Também, se λ1 e λ2 são reais mas se λ1 é positivo e λ2 é negativo, então (0,0) é um ponto de sela; isto é, as trajetórias aproximam-se da origem na direção V2 e afastam-se na direção V1.

As soluções λ1 e λ2 de (123) podem ser complexas. Todavia, quando a matriz M é real, então λ1 e λ2 devem ser uma par complexo conjugado. Se λ1 e λ2 são imaginários puros, então o vetor Y(t) representa uma órbita fechada para qualquer C1 e C2 e o ponto crítico (0,0) é um centro. Se λ1 e λ2 são complexos com partes reais não nulas, então o ponto crítico (0,0) é um ponto de espiral. Quando a parte real Re λ1,2 < 0, então Y(t) → 0 quando t→ +∞ e (0,0) é um ponto de espiral estável; por outro lado, quando Re λ1,2 > 0, então (0,0) é um ponto de espiral instável.

A figura abaixo ilustra razoavelmente o que seja ponto de espiral estável. Lembrar que pelo teorema da existência e unicidade das equações diferenciais, as trajetórias descritas pelos pontos no espaço-fase não devem se cruzar.

Ponto de Espiral
PIA09579: A Galáxia M81 Fica Linda de Rosa. Cortesia da NASA/JPL-Caltech/ESA/Harvard-Smithsonian CfA

[N.T. – O texto que segue é uma Cortesia do Laboratório de Jato-Propulsão da NASA]. A pitoresca galáxia espiralada conhecida como Messier 81, ou M81, aparece como exatamente é nesta nova composição dos telescópios Spitzer e Hubble e do Explorador da Evolução das Galáxias da NASA. A M81 é uma galáxia espiral “bem definida”, o que significa que todos os seus elegantes braços curvam-se na direção do seu centro (o que seria o ponto crítico). Ela está localizada cerca de 12 milhões de anos-luz de distância, na constelação da Ursa Maior, e é uma das mais brilhantes galáxias que podem ser vistas da terra através de telescópios.

As cores na figura representam um trio de comprimentos de onda: o azul corresponde à luz ultravioleta capturada pelo Explorador da Evolução de Galáxias; o amarelo-esmaecido corresponde à banda de luz visível vista pelo Hubble; e o vermelho corresponde à luz infravermelha detectada pelo Spitzer (lembrar que as bandas do infravermelho e ultravioleta não são visíveis a olho nu). As áreas azuladas mostram as mais quentes e jovens estrelas, enquanto as áreas róseas denotam rastros de poeira que seguem os braços da espiral. O centro alaranjado é constituído de velhas estrelas.   

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 2)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 3)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 5)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 6)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 7)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 3)

Parte 3 – Espaço-Fase Bidimensional

O espaço-fase bidimensional (plano de fase) é usado para estudar um sistema de duas equações acopladas de primeira ordem. Os possíveis comportamentos globais de uma trajetória num sistema bidimensional são:

  1. a trajetória deve aproximar-se de um ponto crítico quando t→ +∞.
  2. a trajetória deve aproximar-se de +∞ quando t→ +∞.
  3. a trajetória deve permanecer imóvel para (em relação a) um ponto crítico para todos os t.
  4. a trajetória deve descrever uma órbita fechada ou círculo.
  5. a trajetória deve aproximar-se de uma órbita fechada (subindo ou descendo na direção da órbita) quando t→ ∞. (Estas seriam oscilações sobre os auto-estados do modelo vibracional coletivo?).

As primeiras três possibilidades também ocorrem nos sistemas unidimensionais. Mas, a quarta e quinta possibilidades, não podem ocorrer num espaço-fase de menos de duas dimensões.

Em seguida, enumeraremos os possíveis comportamentos globais para trajetórias próximas a um ponto crítico:

  1. todas as trajetórias devem aproximar-se do ponto crítico ao longo de curvas que são linhas assintóticas a retas (que jamais se tocam) quando t→ +∞. Chama-se tal ponto crítico de nó estável.
  2. todas as trajetórias devem aproximar-se do ponto crítico ao longo de curvas espirais quando t→ +∞. Tal ponto crítico é chamado de ponto de espiral estável. (É possível também que as trajetórias se aproximem do ponto crítico por curvas que não são nem espirais e nem linhas assintóticas a retas).
  3. todas as trajetórias reversas (isto é y(t) com t decrescente) devem mover-se na direção do ponto crítico ao longo de caminhos que são linhas assintóticas a retas quando t→ -∞. Tal ponto crítico é chamado nó instável. Quando t aumenta, todas as trajetórias que começam próximas a um nó instável, devem afastar-se do nó ao longo de linhas que são aproximadamente retas, pelo menos até que a trajetória se encontre longe do nó.
  4. todas as trajetórias reversas devem mover-se na direção do ponto crítico ao longo de curvas espirais quando t→ -∞. Tal ponto crítico é chamado ponto de espiral instável. Conforme t aumenta, todas as trajetórias afastam-se de um ponto de espiral instável ao longo de trajetórias que têm, pelo menos inicialmente, a forma de espirais.
  5. algumas trajetórias devem aproximar-se de um ponto crítico enquanto outras afastam-se do ponto crítico quando t→ +∞. Tal ponto crítico é chamado ponto de sela.
  6. todas as trajetórias devem formar órbitas fechadas em torno do ponto crítico. Tal ponto crítico é chamado centro.

Note-se que enquanto nós e pontos de sela ocorrem no espaço-fase unidimensional, espirais e centros não podem existir em menos que duas dimensões. A indissociabilidade, por exemplo, do par lacuna-intersticial nos dá as duas dimensões mínimas.

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 2)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 4)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 5)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 6)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 7)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 2)

Parte 2 – Pontos Críticos no Espaço-Fase

Se há quaisquer soluções para o sistema de equações algébricas simultâneas

f1(y1, y2,…,yn)

=0

 

f2(y1, y2,…,yn)

=0

(119)

.

.

.

 

 

fn(y1, y2,…,yn)

=0

 

então, há trajetórias degeneradas especiais no espaço-fase que são pontos coincidentes. (A velocidade neste ponto é zero, tal que o vetor-posição não se move). Tais pontos são chamados pontos críticos.

Note-se que enquanto uma trajetória pode aproximar-se de um ponto crítico conforme t→∞, ela não pode encontrar tal ponto num tempo finito. A prova é simples. Suponha-se que fosse possível a uma trajetória encontrar um ponto crítico no tempo T. Então, o sistema de equações obtido por substituição de fpor –fi  exibiria um comportamento impossível: o vetor-posição [y1(t), y2(t),…yn(t)] permaneceria imóvel no ponto crítico e, então, subitamente começaria a mover-se no tempo T. (Lembre-se que num sistema autônomo f1, f2,…fn; as componentes do vetor de velocidade dependem explicitamente somente da posição da partícula e não do tempo).

Veremos como uma análise local das soluções nas vizinhanças dos pontos críticos nos permitem realmente deduzir o comportamento global das soluções.

 

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 3)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 4)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 5)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 6)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 7)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)

VI.1 – A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)

Parte 1 – O Espaço-Fase de Equações Autônomas

O sistema de equações em (105) e (106), por não conter a variável independente de forma explícita, é dito ser um sistema autônomo não linear. Sistemas autônomos de equações, quando são interpretados como descrevendo o movimento de um ponto no espaço-fase, são particularmente susceptíveis a algumas técnicas muito elegantes de análise local. Fazendo-se a análise local do sistema, próximo ao que conhecemos como pontos críticos, podemos fazer previsões notavelmente precisas acerca das
propriedades globais da solução.

É conveniente estudar o comportamento aproximado de uma equação autônoma de ordem n, quando ela está na forma de um sistema de n equações de primeira ordem acopladas. Também, por convenção, entenderemos a variável independente do sistema como sendo o tempo t, e as variáveis dependentes y1, y2,…,yn como coordenadas de posição. A forma geral de tal sistema é:

dy1/dt

=

f1(y1, y2,…,yn)

 

dy2/dt

=

f2(y1, y2,…,yn)

(118 )

.

.

.

 

 

 

dyn/dt

=

fn(y1, y2,…,yn)

 

A solução do sistema em (118 ) é uma curva ou trajetória no espaço n-dimensional chamado espaço-fase. A trajetória é parametrizada em termos de t: y1=y1(t); y2=y2(t);… yn=yn(t).

Assumiremos que f1, f2,…fn  são continuamente diferenciáveis com relação a cada um de seus argumentos. Assim, pelo teorema da existência e unicidade das equações diferenciais, qualquer condição inicial y1(0)=a1, y2(0)=a2,…yn(0)=an, dá origem a uma única trajetória através dos pontos (a1, a2,…an).

Para compreender melhor essa propriedade de unicidade geometricamente, note-se que para cada ponto na trajetória [y1(t), y2(t),…yn(t)], o sistema (118 ) associa um único vetor de velocidade [dy1/dt, dy2/dt,…dyn/dt] que é tangente à trajetória naquele ponto. Segue-se, imediatamente, que duas trajetórias não podem cruzar-se; de outra forma, o vetor tangente ao ponto de intersecção não será único.

 

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 2)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 3)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 4)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 5)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 6)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 7)

O Universo de Defeitos em Cristais (Parte 7)

VI.1 – A Dinâmica do Universo de Defeitos em Cristais

Parte 7 – As Equações da Difusão

Estamos buscando uma equação constitutiva para a integral de Cv no volume. Assim, podemos expressar o termo final de (95) na forma:

α

VM

CiCvdV

=

α

VM

<Ci><Cv>

+

I

(99)

onde, por abreviação, introduziremos a notação

<C>

=

V-1M

VM

CdV

(100)

para ambos os defeitos. A quantidade I é, portanto,

I

=

α

VM

(Ci-<Ci>)(Cv-<Cv>).

dV

(101)

Isto é uma medida da associação média de desvios das concentrações de defeitos de suas médias espaciais. Em outras palavras, o que foi posto acima significa que no sólido, como foi visto, se as oscilações dos átomos forem tomadas pela média numa aproximação harmônica simples, o termo I da equação acima não existiria e o fenômeno da dilatação não poderia ser explicado. O desvio da posição média lá introduzido com a contribuição anarmônica é traduzido aqui como um desvio nas médias espaciais. Não fosse os desvios das médias dados por (Ci-<Ci>)e(Cv-<Cv>), o balanço dos defeitos seria zero. A expressão (101) é, portanto, a tradução da equação (85) no problema da termodinâmica de não equilíbrio.

Assim, rearranjando os termos da equação (95), e usando as definições subseqüentes, chegamos à seguinte equação de momento:

δ<Cv>

δt

+

L

(

Dvk2LV<Cv>-KLV

)

K

+

α

<Ci><Cv>

=

 

=

V-1M

(HV–I)

(102)

notar-se-á que foram introduzidas duas novas quantidades:

k2LV

=

l

k2Ll,V

(103)

 

KLV

=

l

KLl,V

(104)

Então, essas quantidades, somadas sobre todas as posições de cada tipo de sorvedouro dentro da célula, são propriedades médias. São a “eficiência de absorção” e a “taxa de emissão térmica” dos sorvedouros do tipo L.

Da equação (102), vê-se que uma teoria simples de difusão resulta dessas manipulações se for possível argüir que o lado direito desta equação é desprezível. Agora, onde ocorre o inchaço do volume, sua dependência do tempo é normalmente pequena. Assim, HV pode ser desprezado para um alto grau de precisão. Além disso, I pode ser normalmente desprezado com base na auto-consistência; isto é, assumimos que ele é pequeno, resolvemos o problema à mão e, então, checamos a premissa inicial. Isto é geralmente consistente porque, nos casos explorados, Ci e Cv diferem substancialmente de sua média volumétrica somente muito próximo de um sorvedouro. Observar os relativos vazios, em contraste com as altas concentrações próximas aos sorvedouros, na figura que escolhemos para ilustrar o fenômeno. Ali, mais que um tipo de sorvedouro devem estar presentes. Por essa razão, segue a diversidade de tipos de aglomerações. Deve ser considerado também que se trata de “velhas estruturas”, cujas evoluções já se encontram muito distantes do seu instante inicial.

Desde que para a superfície de um sorvedouro em si, Ci e Cv são da ordem de CL, segue que a razão de I para o termo de recombinação que é mantido, é da ordem de VINF/VM para mais, onde VINF é um “Volume Efetivo de Influência” de cada sorvedouro. (CL é geralmente pequeno comparado com <C>), assim, I deve ser também descartado.

O resultado final é, então, o conjunto de equações da difusão abaixo:

δ<Cv>

δt

+

L

(

Dvk2LV<Cv>-KLV

)

K

+

α

<Ci><Cv>

=

0

(105)

 

δ<Ci>

δt

+

L

(

Dik2LI<Ci>-KLI

)

K

+

α

<Ci><Cv>

=

0

(106)

Essas equações devem ser resolvidas, numericamente se necessário for, para obter <Ci> e <Cv> como funções do tempo para uma certa condição inicial prescrita. Tal procedimento é correto, pelo menos em princípio, se a eficiência de absorção k2L e a taxa de emissão KL são conhecidas para cada defeito e para cada tipo de sorvedouro.

É claro, então, o que deve ser o subseqüente procedimento. Devemos resolver a equação da continuidade dentro de cada célula para computar JvLl e, daqui, calcular k2Ll,V e KLl,V para cada tipo de sorvedouro. O mesmo deve ser feito para intersticiais. Somente então, estaremos prontos para partir para as equações (105) e (106).

Sorvedouros
PIA07907: Um Grupo de Diversos Tipos de Galáxias
Cortesia NASA/JPL – Caltech/SSC

[N.T. – O texto que segue é uma Cortesia do Laboratório de Jato-Propulsão da NASA]. A imagem de Ultra-Violeta vista acima corresponde a um grupo de diversos tipos de galáxias. NGC 3190 é uma galáxia do tipo disco espiralado de pó. NGC 3187 já é uma galáxia com forma altamente distorcida. Essas duas galáxias estão separadas por apenas 35 kilo-parsecs (o que corresponde à metade do diâmetro da nossa Via Láctea). Uma galáxia em forma de um anel elíptico, e uma outra de forma irregular também estão presentes.

O Universo de Defeitos em Cristais (Parte 1)

O Universo de Defeitos em Cristais (Parte 2)

O Universo de Defeitos em Cristais (Parte 3)

O Universo de Defeitos em Cristais (Parte 4)


O Universo de Defeitos em Cristais (Parte 5)


O Universo de Defeitos em Cristais (Parte 6)

O Universo de Defeitos em Cristais (Parte 8 )

O Universo de Defeitos em Cristais (Parte 9)

O Universo de Defeitos em Cristais (Parte 10)

%d blogueiros gostam disto: