Cristal Perfeito

Parte 5  – Análise do Ponto Crítico de Sistemas Não-Lineares Bidimensionais

Para ilustrar a utilidade e o poder da análise local do ponto crítico, nós a usaremos para deduzir as características globais de sistemas não lineares. A aproximação que usaremos será a seguinte: primeiro, identificaremos os pontos críticos; então, faremos uma análise local do sistema, muito próximo a esse ponto crítico, levando em conta o que o sistema exato poderá usualmente ser aproximado por um sistema autônomo linear próximo a um ponto crítico. Usando análise matricial, identificaremos a natureza do ponto crítico do sistema linear. Finalmente, reuniremos os resultados da nossa análise local e sintetizaremos um quadro global qualitativo da solução para um sistema não linear.

Exemplo 1

O sistema não linear,

conhecido como equações de Volterra, é um modelo simples de uma relação presa-predador entre duas populações como de coelhos e raposas, ou de lacunas e instersticiais: y₁ (a população de coelhos) crescerá além dos limites (exponencialmente) e y₂ (a população de raposas) for zero. Todavia, se y₁ é zero, então y₂ decairá para zero em virtude da fome (exponencialmente).

O que acontece se y₁ e y₂ são inicialmente positivos?

Há dois pontos críticos, (0,0) e (1,1). Próximo a (0,0), tomaremos (y₁,y₂) = (ε₁,ε₂) e aproximaremos a equação diferencial exata para:

A solução para este sistema exibe comportamento de ponto de sela; trajetórias próximas a (0,0) aproximam-se da origem verticalmente e afastam-se horizontalmente quando t→+∞.

Próximo ao ponto (1,1), faremos (y₁,y₂) = (1+ε₁,1+ε₂) e aproximaremos a equação exata para:

Os auto-valores da matriz M para este sistema linear são ±i. Portanto, o ponto crítico em (1,1) é um centro tendo órbitas fechadas no sentido anti-horário quando t→+∞. A rotação no sentido anti-horário em torno de (1,1) é consistente com as direções de aproximação e afastamento das trajetórias próximas ao ponto de sela.

O que podemos inferir acerca do comportamento global?

Suponha-se que a condição inicial fosse y₁(0)=y₂(0)=a (0<a<1). Então, conforme t aumentasse de zero, o vetor [y₁(t),y₂(t)] mover-se-ia no sentido anti-horário em torno de (1,1). (Se ele se movesse no sentido horário, nós teríamos comportamento descontínuo porque para a suficientemente próximo de 1, nós sabemos que o sentido é anti-horário. Verifica-se diretamente de (124) que o sentido é anti-horário). Conforme t aumenta, o vetor deve continuar a girar em torno de (1,1). Ele não pode cruzar os eixos y₁ e y₂ porque esses são trajetórias em si. Uma análise profunda mostra que esta trajetória não pode aproximar-se do infinito. Portanto, para um certo t, o vetor deve rodear o ponto (1,1) e, eventualmente, reatravessar a linha que liga (0,0) e (1,1). Além disso, ele deve cruzar o ponto inicial (a,a).

Em resumo, todas as trajetórias em (124) com y₁(0)>0,y₂(0)>0 são fechadas e envolvem o ponto (1,1) indiferente da condição inicial para t=0. Isto nos faz lembrar dos sistemas planetários que, embora sua condição inicial seja apenas presumida pela ciência, vem a exibir este tipo de comportamento mostrado na figura. Também chamamos estes de sistemas estacionários.

Assim, as populações y₁ e y₂ oscilam com o tempo. Todavia, é importante notar que enquanto a conclusão de que as trajetórias são exatamente fechadas é correta, ela não pode ser justificada somente pela análise local. Embora seja freqüentemente possível inferir o comportamento global da análise local de pontos críticos instáveis e estáveis, neste exemplo a análise local dá uma descrição incompleta da natureza das trajetórias no espaço-fase.

Parte 4  – Sistemas Autônomos Lineares

Uma vez que os sistemas lineares bidimensionais podem exibir qualquer dos comportamentos acima, torna-se apropriado estudar sistemas lineares antes de partir para sistemas não lineares. Com isto em mente, introduzimos um método fácil para resolver sistemas lineares autônomos.

O método usa álgebra matricial elementar. Um sistema autônomo bidimensional linear

deve ser reescrito na forma

É fácil verificar que se os auto-valores λ₁ e λ₂ da matriz M são distintos, e V₁ e V₂ são auto-vetores de M associados com os auto-valores λ₁ e λ₂ , então a solução geral de (121) tem a forma

onde C₁ e C₂ são constantes de integração que são determinadas pela posição inicial Y(0).

O sistema linear em (121) tem um ponto crítico na origem (0,0). è fácil classificar esse ponto crítico desde que λ₁ e λ₂ sejam conhecidos. Note-se que λ₁ e λ₂ satisfazem a condição de auto-valores

Se λ₁ e λ₂ são reais e negativos, então todas as trajetórias aproximam-se da origem quando t→ +∞ e (0,0) é um nó estável. Por outro lado, se λ₁ e λ₂ são reais e positivos, então todas as trajetórias afastam-se da origem (0,0) quando t→ +∞ e (0,0) é um nó instável. Também, se λ₁ e λ₂ são reais mas se λ₁ é positivo e λ₂ é negativo, então (0,0) é um ponto de sela; isto é, as trajetórias aproximam-se da origem na direção V₂ e afastam-se na direção V₁.

As soluções λ₁ e λ₂ de (123) podem ser complexas. Todavia, quando a matriz M é real, então λ₁ e λ₂ devem ser uma par complexo conjugado. Se λ₁ e λ₂ são imaginários puros, então o vetor Y(t) representa uma órbita fechada para qualquer C₁ e C₂ e o ponto crítico (0,0) é um centro. Se λ₁ e λ₂ são complexos com partes reais não nulas, então o ponto crítico (0,0) é um ponto de espiral. Quando a parte real Re λ_1,2 < 0, então Y(t) → 0 quando t→ +∞ e (0,0) é um ponto de espiral estável; por outro lado, quando Re λ_1,2 > 0, então (0,0) é um ponto de espiral instável.

A figura abaixo ilustra razoavelmente o que seja ponto de espiral estável. Lembrar que pelo teorema da existência e unicidade das equações diferenciais, as trajetórias descritas pelos pontos no espaço-fase não devem se cruzar.

[N.T. – O texto que segue é uma Cortesia do Laboratório de Jato-Propulsão da NASA]. A pitoresca galáxia espiralada conhecida como Messier 81, ou M81, aparece como exatamente é nesta nova composição dos telescópios Spitzer e Hubble e do Explorador da Evolução das Galáxias da NASA. A M81 é uma galáxia espiral “bem definida”, o que significa que todos os seus elegantes braços curvam-se na direção do seu centro (o que seria o ponto crítico). Ela está localizada cerca de 12 milhões de anos-luz de distância, na constelação da Ursa Maior, e é uma das mais brilhantes galáxias que podem ser vistas da terra através de telescópios.

As cores na figura representam um trio de comprimentos de onda: o azul corresponde à luz ultravioleta capturada pelo Explorador da Evolução de Galáxias; o amarelo-esmaecido corresponde à banda de luz visível vista pelo Hubble; e o vermelho corresponde à luz infravermelha detectada pelo Spitzer (lembrar que as bandas do infravermelho e ultravioleta não são visíveis a olho nu). As áreas azuladas mostram as mais quentes e jovens estrelas, enquanto as áreas róseas denotam rastros de poeira que seguem os braços da espiral. O centro alaranjado é constituído de velhas estrelas.   

Parte 3 – Espaço-Fase Bidimensional

O espaço-fase bidimensional (plano de fase) é usado para estudar um sistema de duas equações acopladas de primeira ordem. Os possíveis comportamentos globais de uma trajetória num sistema bidimensional são:

1. a trajetória deve aproximar-se de um ponto crítico quando t→ +∞.
2. a trajetória deve aproximar-se de +∞ quando t→ +∞.
3. a trajetória deve permanecer imóvel para (em relação a) um ponto crítico para todos os t.
4. a trajetória deve descrever uma órbita fechada ou círculo.
5. a trajetória deve aproximar-se de uma órbita fechada (subindo ou descendo na direção da órbita) quando t→ ∞. (Estas seriam oscilações sobre os auto-estados do modelo vibracional coletivo?).

As primeiras três possibilidades também ocorrem nos sistemas unidimensionais. Mas, a quarta e quinta possibilidades, não podem ocorrer num espaço-fase de menos de duas dimensões.

Em seguida, enumeraremos os possíveis comportamentos globais para trajetórias próximas a um ponto crítico:

1. todas as trajetórias devem aproximar-se do ponto crítico ao longo de curvas que são linhas assintóticas a retas (que jamais se tocam) quando t→ +∞. Chama-se tal ponto crítico de nó estável.
2. todas as trajetórias devem aproximar-se do ponto crítico ao longo de curvas espirais quando t→ +∞. Tal ponto crítico é chamado de ponto de espiral estável. (É possível também que as trajetórias se aproximem do ponto crítico por curvas que não são nem espirais e nem linhas assintóticas a retas).
3. todas as trajetórias reversas (isto é y(t) com t decrescente) devem mover-se na direção do ponto crítico ao longo de caminhos que são linhas assintóticas a retas quando t→ -∞. Tal ponto crítico é chamado nó instável. Quando t aumenta, todas as trajetórias que começam próximas a um nó instável, devem afastar-se do nó ao longo de linhas que são aproximadamente retas, pelo menos até que a trajetória se encontre longe do nó.
4. todas as trajetórias reversas devem mover-se na direção do ponto crítico ao longo de curvas espirais quando t→ -∞. Tal ponto crítico é chamado ponto de espiral instável. Conforme t aumenta, todas as trajetórias afastam-se de um ponto de espiral instável ao longo de trajetórias que têm, pelo menos inicialmente, a forma de espirais.
5. algumas trajetórias devem aproximar-se de um ponto crítico enquanto outras afastam-se do ponto crítico quando t→ +∞. Tal ponto crítico é chamado ponto de sela.
6. todas as trajetórias devem formar órbitas fechadas em torno do ponto crítico. Tal ponto crítico é chamado centro.

Note-se que enquanto nós e pontos de sela ocorrem no espaço-fase unidimensional, espirais e centros não podem existir em menos que duas dimensões. A indissociabilidade, por exemplo, do par lacuna-intersticial nos dá as duas dimensões mínimas.