A Visão de 29 de Agosto

Eu me encontrava preso num lugar, imóvel, quando o vi se aproximar em imponente montaria, havia outra pessoa.

Reconheci-o, dizendo-me: “é Ele”!

De dentro para fora, a tudo eu assistia, sua aproximação se fez rodeando-me pelo lado esquerdo, no sentido anti-horário, três vezes.

Então, apeando de sua magnífica montaria, introduziu-se no local onde me encontrava preso, como o gênio que sai de uma lâmpada.

Seu rosto suave, a pele dourada, olhos verde-azuis, olhar complacente, expressão terna, beleza indescritível.

Disse-lhe: “Meu adorado Senhor! Como vai? Sabia que viria”.

Despertei às 05:30 hs.

 

Brasília, 29 de agosto de 2007.

 

O Descortinar dos Ensinos Essenciais

Naquela ocasião, o Bodhisattva Maitreya, desejando enfatizar este significado, falou versos, dizendo:

“No passado,

o Buda do Clã dos Shakyas deixou o lar e dirigiu-se à próxima cidade de Gaya para sentar sob a árvore Bodhi,

não passando longo tempo desde então.

Todos aqueles discípulos do Buda,

incalculáveis em seu número,

praticaram longamente a Via do Buda,

e agora possuem o poder das penetrações espirituais.

Eles estudaram satisfatoriamente a Via do Buda.

Incorruptíveis pelas doutrinas mundanas,

como uma Flor de Lótus flutuando sobre a água,

eles emergiram da terra.

Todos demonstram comportamentos reverentes,

como se já estivessem estado diante do Honrado pelo Mundo.

Tal coisa é difícil de conceber,

como pode ser compreendida?

O Buda apenas recentemente atingiu a Via,

ainda assim suas conquistas são tão grandes.

 

Por favor, dissipe as dúvidas da assembléia,

e diga-nos como isto pode de fato acontecer.

É como se um homem jovem e forte,

com apenas vinte e cinco anos de idade,

apontasse para homens de cem anos,

com cabelos brancos e as faces enrugadas,

e dissesse: ‘Estes são meus filhos’.

Um pai tão jovem com filhos tão velhos,

é uma coisa difícil para o mundo entender.

O Honrado pelo Mundo também é assim;

ele atingiu a Via apenas recentemente e todos esses Bodhisattvas de firme convicção,

nem fracos ou indecisos,

ao longo de ilimitados kalpas praticaram a Via do Bodhisattva.

 

Inteligentes ao responder questões difíceis,

eles não têm receio em suas mentes.

Resolutos na sua paciência,

eles são altivos e dignos,

possuindo extraordinária virtude.

Elogiados pelos Budas das dez direções,

polidos na sua habilidade para fazer distinções e explicar,

eles não se deleitam em estar com as multidões,

preferindo sempre a concentração Dhyana.

Em razão de buscarem a Via do Buda,

eles estavam residindo no espaço abaixo.

 

Ouvindo isto do Buda,

não temos dúvida sobre este assunto,

mas esperamos que o Buda,

em prol daqueles do futuro,

dê explicações para fazê-los compreender.

Pois se eles derem lugar às dúvidas e falharem em compreender este Sutra,

eles poderiam dessa forma cair nos maus caminhos.

Indagamos agora por esta explicação sobre aqueles ilimitados Bodhisattvas,

e como, em tão curto espaço de tempo,

ensinou-os e converteu-os,

levando-os a tomar a decisão,

e a residirem no Estágio de Não-Regressão[1]”.


[1] Esta dúvida dos Bodhisattvas das terras das 8(oito) outras direções presentes na assembléia é que suscita a revelação da duração da vida do Buda no capítulo seguinte. Esta é uma das grandes revelações do Sutra de Lótus, descortinando os ensinos essenciais.

Extraído do CAP. 15: Emergindo da Terra

A Purificação do Carma – 1

Purificação do Carma

Os Bodhisattvas Originais do Grande Veículo

Naquela ocasião, o Honrado pelo Mundo, desejando enfatizar estes princípios, disse versos:

“Sejam todos diligentes e de um único pensamento,

porque desejo explanar sobre este assunto.

Não alimentem dúvidas ou pesares.

A sabedoria dos Budas é inconcebível.

Agora devem, portanto, utilizar o poder da fé,

e perseverar na paciência e benevolência,

para uma Lei que desde o remoto passado nunca foi ouvida,

e que vocês agora estão para ouvir.

Estou encorajando-lhes agora,

assim não tenham dúvidas ou receios.

Os Budas nunca pregam falsidades,

e sua sabedoria não pode ser medida.

Aquela Lei Suprema que eles obtiveram é extremamente profunda, além do discernimento.

Como tal, ela agora será explanada,

devendo todos ouvir em pensamento único”.

O Honrado pelo Mundo, tendo recitado estes versos, então disse ao Bodhisattva Maitreya: “Nesta grande assembléia, farei agora este anúncio para todos vocês: Ajita! Esses incalculáveis asamkhyas de grandes Bodhisattvas Mahasattvas, que emergiram da terra e a quem vocês nunca viram antes, são aqueles a quem ensinei, converti e conduzi neste Mundo Saha após ter atingido o Anuttara-Samyak-Sambodhi. Eu domei e dominei os pensamentos desses Bodhisattvas, fazendo-lhes tomar a decisão pela Via. Todos esses Bodhisattvas vivem no espaço vazio sob o Mundo Saha. Eles leram e recitaram todos os Sutras até penetrarem-lhes completamente. Eles ponderaram seus significados em detalhes e estão devidamente cientes deles”.

 “Ajita! Todos esses bons homens não se deleitam em permanecer com as multidões ou em muita conversa. Eles sempre apreciam viver em lugares quietos onde praticam com diligência e vigor, nunca descansando. Eles não aceitam residir com humanos ou seres celestiais[1]. Eles sempre se deleitam na profunda sabedoria e não têm obstáculos. Eles também sempre se deleitam nas Leis de todos os Budas. Com diligência e pensamento único, eles buscam a suprema sabedoria”.


[1] Então, esses Bodhisattvas Mahasattvas somente aceitam manifestar-se como Bodhisattvas nos mundos das oito direções; ou seja, aqueles Bodhisattvas dos mundos das oito direções, à semelhança dos Budas, são emanações desses Bodhisattvas Originais, são transitórios e impermanentes.

Extraído do CAP. 15: Emergindo da Terra

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 5)

Parte 5  – Análise do Ponto Crítico de Sistemas Não-Lineares Bidimensionais

Para ilustrar a utilidade e o poder da análise local do ponto crítico, nós a usaremos para deduzir as características globais de sistemas não lineares. A aproximação que usaremos será a seguinte: primeiro, identificaremos os pontos críticos; então, faremos uma análise local do sistema, muito próximo a esse ponto crítico, levando em conta o que o sistema exato poderá usualmente ser aproximado por um sistema autônomo linear próximo a um ponto crítico. Usando análise matricial, identificaremos a natureza do ponto crítico do sistema linear. Finalmente, reuniremos os resultados da nossa análise local e sintetizaremos um quadro global qualitativo da solução para um sistema não linear.

Exemplo 1

O sistema não linear,

dy1/dt

=

y1-y1y2

(124)

dy2/dt

=

-y2+y1y2

conhecido como equações de Volterra, é um modelo simples de uma relação presa-predador entre duas populações como de coelhos e raposas, ou de lacunas e instersticiais: y1 (a população de coelhos) crescerá além dos limites (exponencialmente) e y2 (a população de raposas) for zero. Todavia, se y1 é zero, então y2 decairá para zero em virtude da fome (exponencialmente).

O que acontece se y1 e y2 são inicialmente positivos?

Há dois pontos críticos, (0,0) e (1,1). Próximo a (0,0), tomaremos (y1,y2) = (ε12) e aproximaremos a equação diferencial exata para:

1/dt

ε1

(para ε12 →0)

2/dt

ε2

A solução para este sistema exibe comportamento de ponto de sela; trajetórias próximas a (0,0) aproximam-se da origem verticalmente e afastam-se horizontalmente quando t→+∞.

Próximo ao ponto (1,1), faremos (y1,y2) = (1+ε1,1+ε2) e aproximaremos a equação exata para:

1/dt

2

(para ε12 →0)

2/dt

ε1

Os auto-valores da matriz M para este sistema linear são ±i. Portanto, o ponto crítico em (1,1) é um centro tendo órbitas fechadas no sentido anti-horário quando t→+∞. A rotação no sentido anti-horário em torno de (1,1) é consistente com as direções de aproximação e afastamento das trajetórias próximas ao ponto de sela.

O que podemos inferir acerca do comportamento global?

Suponha-se que a condição inicial fosse y1(0)=y2(0)=a (0<a<1). Então, conforme t aumentasse de zero, o vetor [y1(t),y2(t)] mover-se-ia no sentido anti-horário em torno de (1,1). (Se ele se movesse no sentido horário, nós teríamos comportamento descontínuo porque para a suficientemente próximo de 1, nós sabemos que o sentido é anti-horário. Verifica-se diretamente de (124) que o sentido é anti-horário). Conforme t aumenta, o vetor deve continuar a girar em torno de (1,1). Ele não pode cruzar os eixos y1 e y2 porque esses são trajetórias em si. Uma análise profunda mostra que esta trajetória não pode aproximar-se do infinito. Portanto, para um certo t, o vetor deve rodear o ponto (1,1) e, eventualmente, reatravessar a linha que liga (0,0) e (1,1). Além disso, ele deve cruzar o ponto inicial (a,a).

Em resumo, todas as trajetórias em (124) com y1(0)>0,y2(0)>0 são fechadas e envolvem o ponto (1,1) indiferente da condição inicial para t=0. Isto nos faz lembrar dos sistemas planetários que, embora sua condição inicial seja apenas presumida pela ciência, vem a exibir este tipo de comportamento mostrado na figura. Também chamamos estes de sistemas estacionários.

Assim, as populações y1 e y2 oscilam com o tempo. Todavia, é importante notar que enquanto a conclusão de que as trajetórias são exatamente fechadas é correta, ela não pode ser justificada somente pela análise local. Embora seja freqüentemente possível inferir o comportamento global da análise local de pontos críticos instáveis e estáveis, neste exemplo a análise local dá uma descrição incompleta da natureza das trajetórias no espaço-fase.

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 2)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 3)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 4)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 6)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 7)

O Poder do Leão dos Shakyas

Naquele momento todos os Budas que eram emanações do Buda Shakyamuni, que haviam chegado de ilimitados milhares de miríades de kotis de terras das outras direções[1], sentaram na postura de lótus nos tronos de leão sob as árvores de jóias através das oito direções. Os assistentes daqueles Budas, vendo esta grande assembléia de Bodhisattvas de três mil grandes sistemas de mundos emergindo da terra nas quatro direções e estabelecendo-se no espaço, cada um disse ao seu respectivo Buda: “Honrado pelo Mundo, de onde vieram todos esses ilimitados, incomensuráveis asamkhyas de Bodhisattvas nesta grande multidão”?

Cada um daqueles Budas então disse ao seu assistente: “Todos vocês, bons homens, aguardem apenas um momento! Há um Bodhisattva Mahasattva chamado Maitreya, a quem o Buda Shakyamuni concedeu uma profecia de que ele será o próximo Buda. Ele já indagou sobre este assunto, e o Buda está para responder-lhe. Por esta razão, todos vocês devem ouvi-lo a respeito”.

O Buda Shakyamuni então disse ao Bodhisattva Maitreya: “Excelente, excelente, Ajita, que você possa indagar o Buda sobre tão importante assunto. Todos vocês devem em pensamento único vestir a armadura da diligência e tomar uma firme resolução. O Tathagata agora deseja descortinar e proclamar a sabedoria de todos os Budas, o poder da soberania e das penetrações espirituais de todos os Budas, o poder do leão no ataque de todos os Budas, e o poder da extraordinária coragem e poderosa força de todos os Budas”.


[1] Quando no CAP. 11 – Aparecimento da Torre de Tesouro o Buda purifica as terras búdicas, ele o faz nas 8(oito) direções, que vão do estado de inferno ao estado de absorção, nomeadamente: inferno, fome, animalidade, ira, tranqüilidade, alegria, erudição e absorção. Todos esses Budas que são suas emanações, que se originam destas direções, são Budas transitórios de terras impuras. As duas direções remanescentes (Bodhisattva e Buda) apontam para o “espaço vazio” sob o mundo Saha, que tudo detém em sua essência imponderável. Esses Bodhisattvas da Terra, assim chamados, emergem do “mundo” do Buda do remoto passado através dos seus poderes transcendentais. Eles residem no estado de pureza absoluta e não poderiam ser conhecidos ou vistos pelos Budas e Bodhisattvas das 8(oito) direções, onde toda a fenomenologia é transitória e impermanente, a não ser através dos poderes do Buda do tempo sem começo.

Extraído do CAP. 15: Emergindo da Terra

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 4)

Parte 4  – Sistemas Autônomos Lineares

Uma vez que os sistemas lineares bidimensionais podem exibir qualquer dos comportamentos acima, torna-se apropriado estudar sistemas lineares antes de partir para sistemas não lineares. Com isto em mente, introduzimos um método fácil para resolver sistemas lineares autônomos.

O método usa álgebra matricial elementar. Um sistema autônomo bidimensional linear

 

dy1/dt

=

ay1+by2

(120)

dy2/dt

=

cy1+dy2

 

deve ser reescrito na forma

dY/dt

=

MY

(121)

É fácil verificar que se os auto-valores λ1 e λ2 da matriz M são distintos, e V1 e V2 são auto-vetores de M associados com os auto-valores λ1 e λ2 , então a solução geral de (121) tem a forma

Y(t)

=

C1V1eλ1t +C2V2eλ2t

(122)

onde C1 e C2 são constantes de integração que são determinadas pela posição inicial Y(0).

O sistema linear em (121) tem um ponto crítico na origem (0,0). è fácil classificar esse ponto crítico desde que λ1 e λ2 sejam conhecidos. Note-se que λ1 e λ2 satisfazem a condição de auto-valores

det[M-Iλ]

=

det

a-λ

b

=

λ2-λ(a+d)+ad-bc

=

0

(123)

 

 

 

c

d-λ

 

 

 

 

Se λ1 e λ2 são reais e negativos, então todas as trajetórias aproximam-se da origem quando t→ +∞ e (0,0) é um nó estável. Por outro lado, se λ1 e λ2 são reais e positivos, então todas as trajetórias afastam-se da origem (0,0) quando t→ +∞ e (0,0) é um nó instável. Também, se λ1 e λ2 são reais mas se λ1 é positivo e λ2 é negativo, então (0,0) é um ponto de sela; isto é, as trajetórias aproximam-se da origem na direção V2 e afastam-se na direção V1.

As soluções λ1 e λ2 de (123) podem ser complexas. Todavia, quando a matriz M é real, então λ1 e λ2 devem ser uma par complexo conjugado. Se λ1 e λ2 são imaginários puros, então o vetor Y(t) representa uma órbita fechada para qualquer C1 e C2 e o ponto crítico (0,0) é um centro. Se λ1 e λ2 são complexos com partes reais não nulas, então o ponto crítico (0,0) é um ponto de espiral. Quando a parte real Re λ1,2 < 0, então Y(t) → 0 quando t→ +∞ e (0,0) é um ponto de espiral estável; por outro lado, quando Re λ1,2 > 0, então (0,0) é um ponto de espiral instável.

A figura abaixo ilustra razoavelmente o que seja ponto de espiral estável. Lembrar que pelo teorema da existência e unicidade das equações diferenciais, as trajetórias descritas pelos pontos no espaço-fase não devem se cruzar.

Ponto de Espiral
PIA09579: A Galáxia M81 Fica Linda de Rosa. Cortesia da NASA/JPL-Caltech/ESA/Harvard-Smithsonian CfA

[N.T. – O texto que segue é uma Cortesia do Laboratório de Jato-Propulsão da NASA]. A pitoresca galáxia espiralada conhecida como Messier 81, ou M81, aparece como exatamente é nesta nova composição dos telescópios Spitzer e Hubble e do Explorador da Evolução das Galáxias da NASA. A M81 é uma galáxia espiral “bem definida”, o que significa que todos os seus elegantes braços curvam-se na direção do seu centro (o que seria o ponto crítico). Ela está localizada cerca de 12 milhões de anos-luz de distância, na constelação da Ursa Maior, e é uma das mais brilhantes galáxias que podem ser vistas da terra através de telescópios.

As cores na figura representam um trio de comprimentos de onda: o azul corresponde à luz ultravioleta capturada pelo Explorador da Evolução de Galáxias; o amarelo-esmaecido corresponde à banda de luz visível vista pelo Hubble; e o vermelho corresponde à luz infravermelha detectada pelo Spitzer (lembrar que as bandas do infravermelho e ultravioleta não são visíveis a olho nu). As áreas azuladas mostram as mais quentes e jovens estrelas, enquanto as áreas róseas denotam rastros de poeira que seguem os braços da espiral. O centro alaranjado é constituído de velhas estrelas.   

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)

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A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 7)

O Real Pico da Águia Sagrada

Alguns daqueles Bodhisattvas conduzem um séqüito de seres tão numeroso quanto os grãos de areia de sessenta mil Rios Ganges.

Tais são as grandes assembléias que formam,

em pensamento único,

buscando a Via do Buda.

Esses Grandes Mestres,

em número como os grãos de areia de sessenta mil Rios Ganges,

vieram todos para fazer oferecimentos ao Buda e para proteger e ostentar este Sutra.

 

Aqueles com séqüitos abrangendo os grãos de areia de cinqüenta mil Rios Ganges são ainda mais numerosos.

 Aqueles com séqüitos em número de quarenta ou trinta mil,

vinte mil, menos de dez mil, um mil, uma centena,

e assim por diante,

até menos que os grãos de areia de um único Rio Ganges;

e aqueles com metade, um terço, ou um quarto disso,

até menos de um décimo milésimo de um milionésimo disso,

ou um milésimo de um décimo milésimo de um nayuta disso,

e aqueles com dezenas de milhares de milhões de discípulos, ou somente metade de um milhão,

são ainda mais numerosos.

 

Há também aqueles com centenas ou dezenas de milhares,

ou dez milhares, milhares, ou centenas, cinqüenta, ou dez,

menos que três, dois, ou um,

e aqueles que chegaram sozinhos sem seguidores,

preferindo o isolamento.

Todos estes vieram para diante do Buda em número ultrapassando os já descritos acima[1].

Tão grande é a assembléia,

que se fossemos contá-la durante kalpas,

mais numerosos que os grãos de areia do Ganges,

ainda assim não poderíamos conhecê-la totalmente.

 


[1] Essa relação pode ser compreendida imaginando-se uma pirâmide, sendo que os mais numerosos e sós são os elementos que se encontram na base da pirâmide, crescendo exponencialmente o séqüito de seguidores na medida em que aqueles em menor número ocupam as posições acima da base. No vértice superior da pirâmide encontra-se o Buda Shakyamuni e no primeiro nível abaixo se encontram 4(quatro) posições ocupadas pelos líderes dos Bodhisattvas da Terra. Imaginem-se quatro esferas justapostas sobre as quais se apóia uma esfera ao centro. Este é o “Real Pico da Águia Sagrada”. Aqueles que o galgam trazem consigo um séqüito de um inconcebível número de seguidores. Essa é a inalienável função do Bodhisattva, numa direção; e é o inconcebível poder do Buda de adentrar este mundo salvando todos os seres.

Extraído do CAP. 15: Emergindo da Terra

Pico da Águia Sagrada
Foto de André Felipe. Local: Sítio da Dôra em 26/04/2007.

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 3)

Parte 3 – Espaço-Fase Bidimensional

O espaço-fase bidimensional (plano de fase) é usado para estudar um sistema de duas equações acopladas de primeira ordem. Os possíveis comportamentos globais de uma trajetória num sistema bidimensional são:

  1. a trajetória deve aproximar-se de um ponto crítico quando t→ +∞.
  2. a trajetória deve aproximar-se de +∞ quando t→ +∞.
  3. a trajetória deve permanecer imóvel para (em relação a) um ponto crítico para todos os t.
  4. a trajetória deve descrever uma órbita fechada ou círculo.
  5. a trajetória deve aproximar-se de uma órbita fechada (subindo ou descendo na direção da órbita) quando t→ ∞. (Estas seriam oscilações sobre os auto-estados do modelo vibracional coletivo?).

As primeiras três possibilidades também ocorrem nos sistemas unidimensionais. Mas, a quarta e quinta possibilidades, não podem ocorrer num espaço-fase de menos de duas dimensões.

Em seguida, enumeraremos os possíveis comportamentos globais para trajetórias próximas a um ponto crítico:

  1. todas as trajetórias devem aproximar-se do ponto crítico ao longo de curvas que são linhas assintóticas a retas (que jamais se tocam) quando t→ +∞. Chama-se tal ponto crítico de nó estável.
  2. todas as trajetórias devem aproximar-se do ponto crítico ao longo de curvas espirais quando t→ +∞. Tal ponto crítico é chamado de ponto de espiral estável. (É possível também que as trajetórias se aproximem do ponto crítico por curvas que não são nem espirais e nem linhas assintóticas a retas).
  3. todas as trajetórias reversas (isto é y(t) com t decrescente) devem mover-se na direção do ponto crítico ao longo de caminhos que são linhas assintóticas a retas quando t→ -∞. Tal ponto crítico é chamado nó instável. Quando t aumenta, todas as trajetórias que começam próximas a um nó instável, devem afastar-se do nó ao longo de linhas que são aproximadamente retas, pelo menos até que a trajetória se encontre longe do nó.
  4. todas as trajetórias reversas devem mover-se na direção do ponto crítico ao longo de curvas espirais quando t→ -∞. Tal ponto crítico é chamado ponto de espiral instável. Conforme t aumenta, todas as trajetórias afastam-se de um ponto de espiral instável ao longo de trajetórias que têm, pelo menos inicialmente, a forma de espirais.
  5. algumas trajetórias devem aproximar-se de um ponto crítico enquanto outras afastam-se do ponto crítico quando t→ +∞. Tal ponto crítico é chamado ponto de sela.
  6. todas as trajetórias devem formar órbitas fechadas em torno do ponto crítico. Tal ponto crítico é chamado centro.

Note-se que enquanto nós e pontos de sela ocorrem no espaço-fase unidimensional, espirais e centros não podem existir em menos que duas dimensões. A indissociabilidade, por exemplo, do par lacuna-intersticial nos dá as duas dimensões mínimas.

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 2)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 4)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 5)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 6)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 7)

O Emergir dos Bodhisattvas da Terra

Tão logo o Buda disse isto, nos três mil grandes sistemas de mundos do Mundo Saha a terra tremeu e abriu-se, e do seu interior ilimitadas dezenas de bilhões de Bodhisattvas Mahasattvas emergiram simultaneamente. Todos aqueles Bodhisattvas possuíam os corpos da cor dourada, as trinta e duas marcas distintivas, e inconcebível luz. Eles residiam sob o Mundo Saha, no espaço vazio pertencente a este mundo[1]. Ouvindo o som da voz do Buda Shakyamuni, todos aqueles Bodhisattvas vieram de baixo.


[1]espaço vazio pertencente a este mundo”, neste sentido, denota o vácuo imponderável donde emerge a fenomenologia do mundo tríplice. A ciência de hoje, sem poder descrevê-lo ou mensurá-lo, trata essa dimensão simplesmente como “vácuo” ou “campo primordial”.

Extraído do CAP. 15: Emergindo da Terra

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