A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 7)

Parte 7 – Comportamento de um Sistema Não Linear de Ordem Superior Próximo a um Ponto Crítico Estável

Próximo a um ponto Crítico Estável: um ponto crítico é estável se os autovalores do sistema de equações obtidos por linearização do sistema não linear nas vizinhanças do ponto crítico têm a parte real negativa. Isto é, de longe, o caso mais simples. Pode ser provado que todas as trajetórias de todas as equações não lineares que se originam suficientemente próximas a um ponto crítico estável, sempre decaem na direção daquele ponto crítico quando t→+∞. O efeito não linear não muda o comportamento qualitativo (ou mesmo quantitativo) de um sistema próximo a um ponto crítico estável.

Próximo a um Centro: um centro simples é um ponto crítico para o qual todos os autovalores do sistema linearizado são imaginários puros e distintos. Este caso é, talvez, o mais difícil. Para começar, a solução para o sistema linearizado não necessita ser periódoca porque as autofreqüências não devem ser mensuráveis. Por exemplo, um sistema real de quarta ordem poderia ter autovalores ±i, ±i√2. Pode-se ver que há soluções que não são periódicas. Todavia, todas as soluções para um sistema linear para um centro simples são “quase periódicas” no sentido de que existem períodos de tempo T arbitrariamente grandes, sobre os quais a solução se repete para qualquer tolerância especificada.

Matematicamente falando, para qualquer ε>0, existe uma seqüência ilimitada de períodos de tempo T1, T2, T3,… tal que, para cada Ti, |y(t+ Ti)–y(t)|<ε para todo t.

O comportamento de um sistema não linear nas vizinhanças de um centro simples pode ser ainda mais complicado. A existência de um termo não linear deve romper as órbitas de um sistema linear inteiramente. As órbitas não devem ser extensivamente “quase periódicas”. De fato, elas devem exibir um comportamento aleatório muito complicado.

Sistemas Hamiltonianos: um sistema hamiltoniano tem a forma:

dqj/dt

=

-dH/dpj

(126)

dpj/dt

=

dH/dqj

(127)

onde j=1,2,…,m e H=H(p1,p2,…pm,q1,q2,…qm)é chamado hamiltoniano.

Os sistemas hamiltonianos têm duas propriedades importantes. Primeiro, o hamiltoniano é uma integral da energia do movimento. Isto significa que

H[p(t),q(t)]

=

H[p(0),q(0)]

(128 )

 

por conservação, e

 

dH/dt[p(t),q(t)]

=

j (dH/dpjdpj/dt+dH/dqjdqj/dt)

=

0

(129)

Segundo, os sistemas hamiltonianos têm conservação de volume no espaço-fase. Isto significa que se traçamos trajetórias que se originam de todos os pontos dentro de uma região de volume V no espaço-fase, então, para todo t=0 os pontos finais dessas trajetórias após um tempo t preenchem uma reagião com o mesmo volume V, para todos os t. Matematicamente, esta condição é que o Jacobiano

J(t)

=

∂[p(t),q(t)]/∂[p(0),q(0)]

(130)

satisfaça J(t)=1 para todos os t.

Em virtude dos sistemas hamiltonianos preservarem o volume no espaço-fase, os pontos críticos estáveis devem ser centros.

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