A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 4)

Parte 4  – Sistemas Autônomos Lineares

Uma vez que os sistemas lineares bidimensionais podem exibir qualquer dos comportamentos acima, torna-se apropriado estudar sistemas lineares antes de partir para sistemas não lineares. Com isto em mente, introduzimos um método fácil para resolver sistemas lineares autônomos.

O método usa álgebra matricial elementar. Um sistema autônomo bidimensional linear

 

dy1/dt

=

ay1+by2

(120)

dy2/dt

=

cy1+dy2

 

deve ser reescrito na forma

dY/dt

=

MY

(121)

É fácil verificar que se os auto-valores λ1 e λ2 da matriz M são distintos, e V1 e V2 são auto-vetores de M associados com os auto-valores λ1 e λ2 , então a solução geral de (121) tem a forma

Y(t)

=

C1V1eλ1t +C2V2eλ2t

(122)

onde C1 e C2 são constantes de integração que são determinadas pela posição inicial Y(0).

O sistema linear em (121) tem um ponto crítico na origem (0,0). è fácil classificar esse ponto crítico desde que λ1 e λ2 sejam conhecidos. Note-se que λ1 e λ2 satisfazem a condição de auto-valores

det[M-Iλ]

=

det

a-λ

b

=

λ2-λ(a+d)+ad-bc

=

0

(123)

 

 

 

c

d-λ

 

 

 

 

Se λ1 e λ2 são reais e negativos, então todas as trajetórias aproximam-se da origem quando t→ +∞ e (0,0) é um nó estável. Por outro lado, se λ1 e λ2 são reais e positivos, então todas as trajetórias afastam-se da origem (0,0) quando t→ +∞ e (0,0) é um nó instável. Também, se λ1 e λ2 são reais mas se λ1 é positivo e λ2 é negativo, então (0,0) é um ponto de sela; isto é, as trajetórias aproximam-se da origem na direção V2 e afastam-se na direção V1.

As soluções λ1 e λ2 de (123) podem ser complexas. Todavia, quando a matriz M é real, então λ1 e λ2 devem ser uma par complexo conjugado. Se λ1 e λ2 são imaginários puros, então o vetor Y(t) representa uma órbita fechada para qualquer C1 e C2 e o ponto crítico (0,0) é um centro. Se λ1 e λ2 são complexos com partes reais não nulas, então o ponto crítico (0,0) é um ponto de espiral. Quando a parte real Re λ1,2 < 0, então Y(t) → 0 quando t→ +∞ e (0,0) é um ponto de espiral estável; por outro lado, quando Re λ1,2 > 0, então (0,0) é um ponto de espiral instável.

A figura abaixo ilustra razoavelmente o que seja ponto de espiral estável. Lembrar que pelo teorema da existência e unicidade das equações diferenciais, as trajetórias descritas pelos pontos no espaço-fase não devem se cruzar.

Ponto de Espiral
PIA09579: A Galáxia M81 Fica Linda de Rosa. Cortesia da NASA/JPL-Caltech/ESA/Harvard-Smithsonian CfA

[N.T. – O texto que segue é uma Cortesia do Laboratório de Jato-Propulsão da NASA]. A pitoresca galáxia espiralada conhecida como Messier 81, ou M81, aparece como exatamente é nesta nova composição dos telescópios Spitzer e Hubble e do Explorador da Evolução das Galáxias da NASA. A M81 é uma galáxia espiral “bem definida”, o que significa que todos os seus elegantes braços curvam-se na direção do seu centro (o que seria o ponto crítico). Ela está localizada cerca de 12 milhões de anos-luz de distância, na constelação da Ursa Maior, e é uma das mais brilhantes galáxias que podem ser vistas da terra através de telescópios.

As cores na figura representam um trio de comprimentos de onda: o azul corresponde à luz ultravioleta capturada pelo Explorador da Evolução de Galáxias; o amarelo-esmaecido corresponde à banda de luz visível vista pelo Hubble; e o vermelho corresponde à luz infravermelha detectada pelo Spitzer (lembrar que as bandas do infravermelho e ultravioleta não são visíveis a olho nu). As áreas azuladas mostram as mais quentes e jovens estrelas, enquanto as áreas róseas denotam rastros de poeira que seguem os braços da espiral. O centro alaranjado é constituído de velhas estrelas.   

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 2)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 3)

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A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 6)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 7)

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