Pierre e Marie Curie

Marie, Pierre and Irene Curie Deutsch: Marie, ...

Marie, Pierre and Irene Curie Deutsch: Marie, Pierre und Irene Curie (Photo credit: Wikipedia)

No ano de 1878, no pequeno laboratório de Schutzenberger, na Escola Municipal de Paris, nascia a precursora da física do estado sólido. Era o resultado de uma longa série de pesquisas levadas a cabo por Pierre Curie e seu irmão Jacques. Certos cristais como o quartzo, por exemplo, têm a propriedade de converter tensões mecânicas em impulsos elétricos e vice-versa: às alterações de um campo elétrico respondem com vibrações. A descoberta da piezeletricidade não encerrou os trabalhos de Pierre. Continuando os seus estudos sobre o estado cristalino, determinou a temperatura acima da qual as substâncias perdem as propriedades ferromagnéticas: o ponto de Curie.

Homem esquivo, Pierre vivia exclusivamente em função da física, dedicando à pesquisa todo o seu tempo. Essa situação mudou, porém, quando conheceu uma jovem polonesa – Marja Sklodowska – que, em 1891, com apenas 24 anos, havia deixado sua cidade natal – Varsóvia – e procurado em Paris um clima mais compatível com sua inteligência e seus ideais científicos. Apesar de uma série de fatores adversos que tivera de enfrentar, matriculara-se na Sorbonne.

Entre Pierre e Marja – agora Marie – as afinidades eram perfeitas, tanto sob o aspecto social, como do ponto de vista científico.

Marie, ao lado do homem, via também um físico eminente a quem poderia pedir opinião. Pierre, por sua vez, reconhecia a inteligência de Sklodowska, seu raciocínio rigoroso e, principalmente, uma acentuada vocação para a pesquisa. Nessa altura Pierre já havia conquistado certo renome científico, tanto na França como no exterior. Marie era apenas uma estudante de física e matemática. Mas, entre os dois, desenvolveu-se uma amizade profunda, consolidada um ano depois com o casamento. Nesse mesmo ano, 1895, Pierre defendia sua tese de doutoramento sobre magnetismo a temperaturas variáveis.

Casada, Marie Curie passou a cuidar do lar, não se descuidando todavia de suas pesquisas. Em 1897 nascia lrène, futuro Prêmio Nobel de Química.

Marie publicava os resultados de suas primeiras pesquisas e preparava sua tese de doutoramento. Foi atraída pelos trabalhos de Becquerel que, dois anos antes, descobrira que um minério de urânio colocado sobre uma chapa fotográfica envolta em papel preto, produzia uma impressão análoga à que poderia produzir a luz. Becquerel percebeu que essa impressão era devida a uma radiação que atravessava o papel. Essa propriedade não dependia de uma insolação preliminar e persistia quando o minério era conservado no escuro durante meses. Mas de onde provinha a energia emitida em forma de radiação pelos minerais de urânio?

Hangar

Hangar da Escola de Física e Química

Instalando num lugar úmido da Escola de Física e Química uma câmara de ionização e alguns instrumentos de detecção criados por Pierre, o casal procurou a resposta. Por meio de um eletrômetro conseguiram medir tais radiações, afirmando que elas eram uma propriedade atômica do elemento urânio. Sua intensidade era proporcional à quantidade de urânio presente na substância, não dependendo do estado de combinação química, nem de circunstâncias exteriores.

O casal Pierre-Marie foi mais além: o urânio não era o único elemento que apresentava tal propriedade. Os sais de tório emitiam radiações análogas.

Como resultado de todo esse longo trabalho, iniciado pelo físico alemão Konrad von Roentgen, continuado por Becquerel e concluído pelo casal, nascia o estudo do fenômeno da radiatividade.

Pierre e sua companheira deram mais um passo à frente. Em uma comunicação à Academia de Ciências, a 12 de abril de 1898, anunciaram que a pechblenda – óxido de urânio – era bem mais ativa que o próprio metal. Tal fato levava a crer que o minério continha, além do urânio, outro elemento.

Conseguiram do governo austríaco uma tonelada de pechblenda, proveniente das minas de Joachimsthal. Quebrar, ferver, filtrar o minério, lutar contra os gases asfixiantes, foi um trabalho árduo, mas compensador. Em julho do mesmo ano informavam que haviam conseguido isolar da pechblenda um metal que, na tabela periódica, seria vizinho do bismuto. Em homenagem à pátria de Marie, foi designado como polônio.

O casal, porém, tinha razões suficientes para acreditar que a presença do polônio não explicava o excesso de radiatividade do minério. Impunha-se repetir toda a tarefa que conduzira à descoberta do polônio. E, novamente, os resultados foram positivos. Não havia mais segredos na radiatividade da pechblenda. Quase no final de 1898, uma comunicação assinada por Marie, Pierre e seu colaborador G. Bémont anunciava a descoberta do segundo elemento radiativo – o rádio.

Perfeitamente identificados em suas pesquisas, tornando assim difícil saber o que pertence a um ou a outro, Pierre e Marie não foram, de início, notados pelos meios científicos. Seus trabalhos eram acolhidos com reservas, pois implicavam a destruição de um conjunto de noções até então plenamente aceitas. E, se a existência do rádio tinha sido comprovada, o seu isolamento ainda não tinha sido concluído. Mas, após quatro anos de luta, o resultado foi feliz: obtiveram 1 decigrama de rádio puro e determinaram o seu pêso atômico: 226. Elemento espontaneamente luminoso, dois milhões de vezes mais radiativo que o urânio, teve seu valor terapêutico rapidamente comprovado. Sua ação sobre o câncer foi testada por Pierre e pelos professores Charles Bouchard e Balthasard.

A essa altura dos acontecimentos, qualquer dúvida sobre o gênio e valor do casal seria gratuita. Em todo o mundo o seu mérito era reconhecido. Mas as maiores honras eram sempre dirigidas a Pierre. O governo francês condecorou-o, e a Sorbonne ofereceu-lhe uma de suas cátedras.

A 25 de julho de 1903, Marie enfrentou o julgamento da Sorbonne. Sua tese Recherches sur tes substances radioo-actives, brilhantemente defendida, concedeu-lhe o título de Doutora em Ciências Físicas, com menção de alto louvor. A Royal Society de Londres solicitou a presença do casal. Nesse mesmo ano foi lançada a segunda edição da memorável tese de Marie, que, juntamente com Pierre e Antoine Henri Becquerel, recebeu o Prêmio Nobel de Física.

A França e o mundo inteiro despertaram para a importância do casal. Criou-se uma cátedra para o cientista na Faculdade de Ciências e Marie foi nomeada chefe de pesquisas do departamento.

Um mês depois nasceu a segunda filha Ève, que seria pianista e, mais tarde, escritora, tendo como obra de maior repercussão a biografia de sua mãe.

A 19 de abril de 1906 um trágico acidente separou o casal: Pierre, ao atravessar a Rua Dauphine, rumo à Sorbonne, foi colhido por uma carruagem.

Marie, profundamente chocada, ocupou a cátedra deixada vaga pelo marido, e, sozinha, continuou sua grande obra científica. Era a primeira vez que uma mulher ocupava tal lugar na Sorbonne.

Em 1908 organizou, reviu e prefaciou as Obras de Pierre. Em 1910 publicou um longo trabalho intitulado Traité de radio-activité.

Nessa época, dividia suas pesquisas entre a física e a química. Em 1911 foi distinguida com um segundo Prêmio Nobel: o de química.

Durante a Primeira Guerra Mundial organizou centros de assistência radiológica para os feridos. Em 1918, restabelecida a paz, Marie retorna às suas pesquisas. Começaram, então, as viagens ao estrangeiro. Em 1921, acompanhada por lrène, visitou os Estados Unidos, onde recebeu das mulheres americanas 1 grama de rádio, que doou ao Instituto Curie de Radioterapia, criado na França. Alguns anos mais tarde chegou mais 1 grama, dessa vez destinado ao Instituto de Rádio de Varsóvia, que Madame Curie dirigia de Paris. Em agosto de 1926, o Brasil também conheceu a famosa cientista.

Pesquisas, viagens e, novamente, o laboratório. Em 1933 publicou Les rayons alfa, bêta et gama des corps radioactifs en relation avec la structure nucléaire: era um esquema de todos os progressos realizados na física nuclear.

Morreu com 67 anos, a 4 de julho de 1934, no sanatório de Sancellemoz, vítima das radiações do próprio elemento que anos antes descobrira. Os precursores da era atômica estavam mortos, mas sua obra não. lrène Curie e seu marido, Fréderic Joliot, assumiriam a responsabilidade de continuar o grande edifício estruturado pelo casal.

Em 1935 receberiam o Prêmio Nobel de Química, pela criação de novos elementos radiativos, isto é, pela descoberta da radiatividade artificial.

Informações obtidas em http://geocities.yahoo.com.br/saladefisica9/. Por razões que desconheço, esse site não está mais disponível.

Cristalino – O Universo de Cristal Perfeito

O Todo-Vazio como Cristal Perfeito

Nenhum fenômeno possui uma natureza própria, que possa ser chamada de ‘eu’. Por quê? Porque eles, os fenômenos, resultam de uma quebra de simetria de uma ordem superior, devida às impurezas. Essa quebra de simetria impõe a discriminação como um aspecto essencial da realidade. Ora, a assim chamada natureza de todos os fenômenos é um produto de relações causais, nada mais, portanto ‘é’; esses fenômenos, pelo aspecto temporário, têm como destino inexorável a sua ‘dissolução’ no Todo-Vazio, portanto ‘não-é’.

Leia Mais em ‘Cristalino’ – O Universo de Cristal Perfeito.

crystalline.mp3

Cristalino

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Conteúdo deste volume:

A Teoria Geral da Fatalidade. 3

1ª Lei da Fatalidade. 3

Corolário Cósmico da Completeza. 3

Corolário da Fatalidade Intrínseca da Novidade. 3

2ª Lei da Fatalidade. 3

Corolário da Condenação Eterna. 4

Corolário do Esquecimento Newtoniano. 4

I – O Átomo. 5

II – Elementos de Estruturas Cristalinas. 7

Noções do Fenômeno de Transporte em Meios do Estado Sólido. 9

A Luz. 11

Cristais Iônicos. 13

Cristais de Quartzo. 13

Reações do Estado Sólido e Interações Entre Defeitos. 14

Recombinação de Pares de Defeitos. 14

Recombinação Elétron-Pósitron. 16

Difusão – Aglomerados (sem perda de identidade). 18

Difusão – Sumidouros (com perda de identidade). 20

Precipitação. 21

Distorções Numa Rede. 24

III – Cristalofísica – Noções e Propriedades. 26

Introdução. 26

O Modelo de Tensão de Caráter Expansivo – 1a. Parte. 27

1ª. Parte. 27

2ª. Parte. 29

Propriedades da Física dos Cristais. 31

Propriedades Físicas dos Cristais Descritas com Tensores de 2ª.Ordem. 33

Princípio de Neumann9. 35

Princípio de Curie10. 35

Superfície Característica de um Tensor Simétrico de Segunda Ordem. 36

Propriedades Geométricas. 37

Propriedades Ópticas de Cristais. 37

1ª. Parte. 37

2ª. Parte. 39

Tensões e Deformações em Cristais, Expansão Térmica. 42

Eixos Principais do Tensor de Tensões e Superfícies de Tensões. 43

O Tensor de Tensões como Exemplo de Tensor Campestre. 44

Eixos Principais do Tensor de Deformações e Superfície Característica do Tensor de Deformações.  46

Elipsóide de Deformações. 47

Tensor de Deformações e Princípio de Neumann. 49

Expansão Térmica. 50

Propriedades Elásticas dos Cristais. A Lei de Hooke. 50

A Energia do Cristal Deformado. 51

Módulo de Young, Módulo de Deslizamento e Coeficiente de Poisson. 52

Superfície de Índices dos Coeficientes de Elasticidade. 53

Propriedades Piezoópticas dos Cristais. 53

IV – Dinâmica de Rede. 57

A Equação da Dinâmica. 60

A Hamiltoniana Clássica. 61

O Modelo Vibracional Coletivo. 65

Vibrações em Mecânica Quântica. 65

Vibrações na Forma ou Esfera de Influência. 67

Coordenadas Normais no Sistema Quântico. 70

A Contribuição Anarmônica. 74

V – O Universo de Defeitos em Cristais. 79

Introdução. 79

A Dinâmica de Defeitos em Cristais. 79

A Termodinâmica de Não Equilíbrio. 79

Difusão para Aglomerados. 81

Séries Periódicas de Sorvedouros. 83

Equações da Continuidade para Defeitos em Cristais Simples. 85

Condições de Contorno para as Equações da Continuidade. 86

Eficiência de Absorção, Taxa de Emissão Térmica e Difusividade. 88

As Equações da Difusão. 90

Séries Aleatórias de Sorvedouros. 93

A Dedução de uma Média Geral para as Concentrações de Defeitos. 95

A Equação da Difusão para Séries Aleatórias de Sorvedouros. 97

A Análise Local das Equações da Difusão. 98

O Espaço-Fase de Equações Autônomas. 99

Pontos Críticos no Espaço-Fase. 100

Espaço-Fase Bidimensional. 101

Sistemas Autônomos Lineares. 103

Análise do Ponto Crítico de Sistemas Não-Lineares Bidimensionais. 106

Dificuldade com a Análise Linear. 109

Comportamento de um Sistema Não Linear de Ordem Superior Próximo a um Ponto Crítico Estável. 111

VI – Preparação da Unificação das Interações Fundamentais.  114

Uma Visão Global da Unificação das Interações. 122

Uma Técnica para “Fusão do Vácuo”. 123

As Idéias de Bruno Touschek. 123

As Cores de Oscar Greenberg. 124

A Cromodinâmica Quântica de Sheldon Glashow. 126

Os Limites da Análise nas Idéias de Kogut, Wilson e Susskind. 127

VII – O Pensamento de Behram Kursunoglu. 130

Primórdios da Eletrodinâmica Quântica. 130

A Idéia de Behram Kursunoglu. 131

Uma Nova Carga Magnética. 133

Um Novo Vácuo. 135

Um Novo Spin. 137

Uma Nova Força. 138

Um Novo Papel Para a Força Gravitacional. 140

Uma Nova Energia Própria. 141

Um Novo Universo. 144

A Conclusão de Behram Kursunoglu. 147

VIII – O Cristalino. 149

O Todo-Vazio como Cristal Perfeito. 151

Propriedades Piezoópticas dos Cristais

III.2.4 – Propriedades Piezoópticas dos Cristais

O efeito piezoóptico consiste na variação das propriedades refringentes dos cristais sob ação das tensões mecânicas exteriores estáticas ou variáveis (incluam-se os defeitos ou estruturas de defeitos criados por essas). É conveniente descrever a variação dos índices de refração com uso da indicatriz óptica. A equação da indicatriz óptica de qualquer cristal no sistema de eixos principais x1, x2, x3 tem a forma:

x1 / n12

+

x2 / n22

+

x3 / n32

=

1

 

 

ou

 

 

 

 

α1 x12

+

α 2 x22

+

α 3 x32

=

1

onde α 1, α 2, α3 , são as impermeabilidades dielétricas principais do cristal na ausência de campo. O tensor (α ij) é inverso com relação ao tensor de permeabilidade dielétrica (εij) e se chama tensor das constantes de polarização.

Ao se sobrepor o campo das tensões mecânicas, variam a forma e a orientação da indicatriz óptica e, no caso geral, seus novos eixos principais não coincidem com os iniciais. No novo sistema arbitrário de coordenadas x1’, x2’, x3’ , que tem a mesma origem do sistema principal x1, x2, x3 , a equação da indicatriz óptica pode ser escrita:

  α’11x’12 + α’22x’22 + α’33x’32 + 2 α’23x’2 x’3 + α’13x’1x’3 + 2α’12x’1 x’2 = 1

As constantes de polarização α’ij relacionadas com o sistema x1’, x2’, x3’ , relacionam-se com as constantes α ij no sistema principal por:

  α’jk = cji cki  α ii

onde os cji e cki são os cossenos diretores dos ângulos entre os eixos do sistema arbitrário e o principal. As variações das constantes de polarização Δαij devido à aplicação das tensões mecânicas (deformações – efeito eletroóptico) são iguais a:

Δαij =   α’ij  α ij

As variações das constantes de polarização neste caso (com exatidão até os termos de primeira ordem) resultam serem proporcionais às tensões mecânicas (deformações):

Δαij

=

Rijkl tkl

Δαij

=

Пijklrkl

Os coeficientes Rijkl e Пijkl formam o tensor de quarta ordem e se chamam, respectivamente, constantes piezoópticas e elastoópticas. Devido ao fato que Δαij = Δαji ; tkl = tlk (na ausência dos momentos volumétricos), então:

Rijkl

=

Rjikl

Пijkl

=

Пijlk

Expressão Matricial: As equações acima, na forma matricial, podem ser escritas:

Δαm = Rmn tn

onde,

Rmn

=

Rijkl

,

quando n é igual a 1, 2, 3

Rmn

=

2Rijkl

,

quando n é igual a 4, 5, 6

Também,

Δαm = Пmn rn

onde os Пmn são os coeficientes elastoópticos adimensionais, com a particularidade de que Пmn = Пijkl para todos os m e n. No caso geral, Rmn Rnm e Пmn ≠ Пnm . Os coeficientes Rmn e Пmn estão relacionados por meio das seguintes correlações:

Rmn

=

Пmr Crn

;

Пmn

=

RmrSrn

onde Crn e Srn são coeficientes de rigidez elástica e compressibilidade elástica, respectivamente.

 

N.Perelomova, M. Taguieva – Problemas de Cristalofísica – Ed. Mir, 1975 – Moscou – URSS.

 

Módulo de Young, Módulo de Deslizamento e Coeficiente de Poisson

Para descrever as propriedades elásticas dos meios tanto isotrópicos como anisotrópicos, recorre-se freqüentemente às seguintes constantes:

a- O módulo de Young E, que caracteriza as propriedades elásticas do meio em uma direção, determina-se pela razão da tensão mecânica nesta direção, pela magnitude da deformação na mesma direção;
b- O coeficiente de Poisson S, que se define como a razão da deformação da compressão transversal pela deformação da tração longitudinal, originadas por uma tensão mecânica;
c- O módulo de deslizamento m, que se define como a razão do esforço de deslocamento pela deformação por cisalhamento.

Superfície de Índices dos Coeficientes de Elasticidade

Posto que não se pode representar completamente as propriedades elásticas dos cristais com uma só superfície, usa-se formar a superfície de índices para cada coeficiente de elasticidade. Tal superfície demonstra de um modo claro a variação deste coeficiente em função da direção do cristal. Praticamente, é importante a superfície que representa a variação do módulo de Young segundo a direção. O raio vetor dessa superfície é proporcional à magnitude do módulo de Young na direção do raio vetor.

N.Perelomova, M. Taguieva – Problemas de Cristalofísica – Ed. Mir, 1975 – Moscou – URSS.

A Energia do Cristal Deformado

O trabalho realizado por unidade de volume, sendo pequena a variação de deformação do cristal, se expressa por δW = ti δri. Quando essa mudança da deformação é isométrica e reversível, δW pode ser igualado ao crescimento da energia livre δQ , isto é,

δQ = δW = ti δri

Se for cumprida a lei de Hooke, a equação toma a forma:

δQ = cij rj δri

donde,

δQ / δri = cij rj

diferenciando em relação a rj , vem

δ / δri (δQ / δri) = cij

Posto que Q é função somente do estado do corpo, que se determina pelas componentes de deformação, a ordem de diferenciação não tem importância, portanto,

cij

=

cji

 

e

 

sij

=

sji

Graças a essa simetria, o número de rigidezes e compressibilidades cai de 36 para 21. Integrando a expressão diferencial acima, obtemos que o trabalho requerido pela unidade de volume do cristal necessário para criar a deformação ri , a chamada energia de deformação, é igual a 1/2 cij ri rj (que não deixa de ser um potencial do tipo 1/2 k x2 , correspondente à mola).

 

N.Perelomova, M. Taguieva – Problemas de Cristalofísica – Ed. Mir, 1975 – Moscou – URSS.

Propriedades Elásticas dos Cristais. A Lei de Hooke

Sob ação de tensões mecânicas, os cristais experimentam deformações. Se a magnitude da tensão é menor que o limite de elasticidade, a deformação é reversível. Sendo tensões suficientemente pequenas, a deformação é proporcional à magnitude da tensão aplicada. Se ao cristal é aplicada uma tensão uniforme arbitrária (tkl), a deformação homogênea surgida é tal que cada uma das suas componentes rij está vinculada linearmente com todas as componentes do tensor de tensões, isto é:

rij = sijkl tkl (i, j, k, l = 1, 2, 3).

Esta expressão é a lei de Hooke na sua forma generalizada, Aqui, sijkl são as constantes de compressibilidade elástica do cristal. No total, há 81 coeficientes sijkl. A lei de Hooke pode ser escrita também como

tij = cijkl rkl ,

onde os cijkl são as constantes de rigidez elástica do cristal. Os coeficientes sijkl e cijkl formam os tensores de quarta ordem. Devido à simetria do tensor de deformações e do tensor de tensões, as componentes dos tensores sijkl e cijkl são simétricas com relação aos índices i, j, k, l; isto é,

sijkl

=

sjikl

,

sijkl

=

sjikl

sijkl  

=

sijlk

,

sijkl

=

sijlk

As correlações acima reduzem o número de componentes para 36. Graças à simetria de sijkl e cijkl , podemos utilizar notações matriciais.

ri

=

sij

tj

(i, j = 1, 2, 3, 4, 5 e 6)

ti

=

cij

rj

(i, j = 1, 2, 3, 4, 5 e 6)

A introdução da expressão matricial diminui o número de somandos do segundo membro da equação inicial (rij = sijkl tkl ), porém impõe a introdução dos multiplicadores 2 e 4 segundo a regra seguinte:

sijkl

=

smn

,

quando m e n são iguais a 1, 2, 3

2sijkl

=

smn

,

quando m ou n são iguais a 4, 5, 6

4sijkl

=

smn

,

quando m e n são iguais a 4, 5, 6

 

N.Perelomova, M. Taguieva – Problemas de Cristalofísica – Ed. Mir, 1975 – Moscou – URSS.

Tensor de Deformações e Princípio de Neumann

As deformações que descrevem a reação de um cristal a uma influência exterior não são sua propriedade física. Portanto, o tensor de deformações bem como o tensor de tensões, não estão sujeitos ao princípio de Neumann, a exceção das deformações originadas pela variação de temperatura (expansão térmica) de cristais. Lembremos que a expansão térmica se dá às custas da anarmonicidade na vibração térmica dos átomos em torno de suas posições na rede; isto é, às custas de defeitos cujas influências somadas resultam na deformação. Portanto, defeitos de uma maneira geral fazem exceção à regra acima, pois, trata-se de influência interior aos cristais.

Expansão Térmica:

variando-se uniformemente a temperatura de um cristal de ΔT, este experimentará uma deformação homogênea descrita por:

rij = αij ΔT

onde, os αij são coeficientes de expansão térmica que são componentes do tensor simétrico de segunda ordem. Evidentemente, existem três coeficientes principais de expansão térmica: α1, α2, α3. As direções principais correspondentes à deformação podem ser encontradas mediante as correlações

r1 = α1ΔT , r2 = α2ΔT , r3 = α3ΔT.

O Tensor de Tensões como Exemplo de Tensor Campestre

O tensor de tensões é próximo, por seu sentido, à força aplicada ao cristal. Por isso, o tensor de tensões não depende da simetria do cristal, tendo sentido tanto para estes, como para os corpos isotrópicos sob tensão. Para distingui-los de tensores materiais que descrevem as propriedades físicas de cristais, e que estão vinculadas a sua simetria, semelhante tensor se chama campestre. Para descrever a deformação de um corpo, suponhamos que, durante a deformação, a posição de origem não mude e todos os demais pontos têm um certo deslocamento. Se o ponto A passa a ocupar a posição A’ e o ponto B, que se separa de A por Δx, passa a ocupar a posição B’, então A e B terão os deslocamentos expressos por uA e uB. O vetor u se chama vetor de deslocamento; ui = (xi’ – xi), i = 1, 2, 3; xi são coordenadas do corpo antes da deformação, xi’ são as coordenadas depois da deformação. Se ui = xi’ – xi = constante, Δu = 0 e as deformações estão ausentes, isto é, ocorre um translado do corpo paralelamente a si próprio.

Deformações homogêneas são aquelas para as quais as componentes do vetor de deslocamento são funções lineares das coordenadas. Os valores eij não dependem da magnitude do deslocamento.

u1

=

e11x1

+

e12x2

+

e13x3

u2

=

e21x1

+

e22x2

+

e23x3

u3

=

e31x1

+

e32x2

+

e33x3

Para o incremento dos deslocamentos, no caso de uma deformação homogênea podemos escrever:

Δu1

=

e11Δx1

+

e12Δx2

+

e13Δx3

Δu2

=

e21Δx1

+

e22Δx2

+

e23Δx3

Δu3

=

e31Δx1

+

e32Δx2

+

e33Δx3

As expressões acima determinam a interação vetor-vetorial e as nove magnitudes eij constituem um tensor de segunda ordem, isto é:

 

 

 

 

e11

e12

e13

eij

=

dui / dxj

=

e21

e22

e23

 

 

 

 

e31

e32

e33

O tensor (eij) se denomina tensor de pequenos deslocamentos. No caso geral, esse tensor não é simétrico. Sempre, porém, poderá ser representado em forma de uma soma de tensores, um simétrico e outro antissimétrico:

eij = rij + wij ; onde rij = 1 / 2 (eij + eji) = rji

Evidentemente, o tensor (rij) é simétrico e o tensor (wij) é antissimétrico, ou seja:

wij = 1 / 2 (eij – eji) = -wji

e descreve a rotação do corpo como um todo ao redor de um eixo fixo sem deslocar seus pontos entre si. O tensor (rij) representa um tensor de deformação propriamente dito. A variação relativa de volume é:

Δv / v = rii = r11 + r22 + r33

As componentes diagonais do tensor (rij): r11, r22, r33 são deformações de compressão e tração dos elementos de comprimento unitário ao longo dos eixos coordenados. As componentes não diagonais: r32, r31, r12 determinam as deformações de deslocamento, sendo, por exemplo, a magnitude 2r32 igual à variação do ângulo entre os elementos situados antes da deformação paralelamente aos eixos x2 e x3. As componentes r13 e r12 têm sentido análogo.

 

N.Perelomova, M. Taguieva – Problemas de Cristalofísica – Ed. Mir, 1975 – Moscou – URSS.

Tensões e Deformações em Cristais, Expansão Térmica

III.2.2 – Tensões e Deformações em Cristais, Expansão Térmica

O estado de tensão homogêneo de um corpo, em certo ponto, pode ser representado por nove componentes do tensor de tensões em um sistema de coordenadas escolhido arbitrariamente, ou seja:

 

 

t11

t12

t13

tij

=

t21

t22

t23

 

 

t31

t32

t33

Neste caso são aceitas as seguintes designações: o primeiro índice da componente do tensor de tensões se refere à direção da força; o segundo se refere à direção da normal à área elementar em que atua a força.

Portanto, tii , isto é, as componentes normais ou diagonais do tensor de tensão, são tensões de tração (compressão) na direção dos eixos coordenados; tij (j ¹ i) são tensões de deslizamento (deslocamento) ou tangenciais, que se encontram no plano daquelas áreas elementares nas quais atuam. Da condição de equilíbrio estático de momentos, com relação aos eixos de coordenadas x1, x2 e x3, se depreende a igualdade das componentes não diagonais do tensor (tij): t12 = t21, t23 = t32, t31 = t13. Portanto, o estado de tensão se descreve completamente com seis componentes independentes do tensor de tensões: três normais t11, t22, t33 ; e três tangenciais t12, t13, t23.

 

N.Perelomova, M. Taguieva – Problemas de Cristalofísica – Ed. Mir, 1975 – Moscou – URSS.

Propriedades Ópticas de Cristais – 2a. Parte

2ª. Parte

A indicatriz óptica tem uma propriedade importante que é a seguinte: se do seu centro traçarmos uma reta OP, ao longo da direção em que se propaga a frente de onda, a secção central perpendicular a essa direção será uma elipse; os índices de refração de ondas que se propagam ao longo de OP se determinarão pelos comprimentos dos semi-eixos desta elipse, e as direções dos semi-eixos AO e OB são, respectivamente, as direções de oscilação do vetor Δ para cada uma das ondas.

O tensor de permeabilidade dielétrica e o tensor de impermeabilidade dielétrica escritos na forma diagonal podem conter três, duas ou uma componente independente para os cristais de categorias inferior e superior. Por isso, a indicatriz óptica de cristais triclínicos, monoclínicos e rômbicos será um elipsóide triaxial; a de cristais trigonais, hexagonais e tetragonais, um elipsóide de revolução; e a dos cristais cúbicos uma esfera. A figura abaixo ilustra essas variações. Surpresa? É familiar, não é?

Elipsóide

Se a secção transversal da indicatriz óptica tem a forma de um círculo, isto significa que, na direção perpendicular a esta secção, as velocidades de fase de duas ondas luminosas coincidem, isto é, nesta direção não há birrefringência. Essa direção se chama eixo óptico do cristal. Nos cristais de categoria média, a indicatriz óptica tem uma secção central circular e, por conseguinte, um eixo óptico que coincide na direção com o eixo de simetria de ordem superior. Os cristais dos sistemas trigonal, tetragonal e hexagonal são opticamente uniaxiais. O elipsóide triaxial tem duas secções circulares e, conseqüentemente, dois eixos ópticos. Os cristais de categoria inferior são opticamente biaxiais. O índice maior de refração dos cristais biaxiais é designado por ng, o menor por np e o médio por nm. Os eixos ópticos estão no plano em que se encontram os eixos ng e np da indicatriz. Esse plano se chama plano de eixos ópticos. O ângulo agudo entre os eixos ópticos se denomina ângulo de eixos ópticos e se designa com 2V.

Nos cristais uniaxiais, qualquer secção central que representa uma elipse tem como um dos semi-eixos o raio da secção circular. Isto significa que em qualquer direção do cristal uniaxial se propagam duas ondas, porém, somente para uma delas, “extraordinária”, o coeficiente de refração depende da direção. Para a outra, “ordinária”, o coeficiente de refração no não depende da direção. O índice maior (ou menor) de refração da onda extraordinária é designado por ne. Se ne for maior que no, o cristal se chama opticamente positivo. Caso contrário denomina-se opticamente negativo. A diferença entre ne e no determina a magnitude da birrefringência do cristal dada por dn = ne – no, sendo uma das constantes ópticas fundamentais do cristal.

Em cristais biaxiais as ondas são extraordinárias; o coeficiente de refração e a velocidade de propagação de cada uma delas dependem da direção. Um cristal biaxial se considera positivo se ng – nm > ng – np, isto é, ng serve de bissetriz do ângulo agudo 2V. Os cristais biaxiais, nos quais a bissetriz do ângulo agudo é np, são opticamente negativos.

A indicatriz óptica de cristais cúbicos tem a forma de esfera. Todas as suas secções centrais são circunferenciais. Nos cristais cúbicos não há birrefringência. No que respeita à passagem da luz, os cristais cúbicos se comportam como corpos isotrópicos.

Propriedades Ópticas de Cristais – 1a. Parte.

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