Coordenadas Normais no Sistema Quântico

De acordo com o princípio da correspondência, é sempre possível recuperar as equações clássicas do movimento da mecânica quântica, contanto que cada variável clássica tenha sido substituída pelo valor esperado do correspondente operador quântico.

Consideremos o estado estacionário de n-fônon ‌׀n>, e admitamos a variável Q deslocada de uma distância є no instante t=0.

 

A omissão dos índices α e q visou simplicidade de notação, e os operadores correspondentes às coordenadas P e Q serão ^P e ^Q, assim como â⁺ e â. O valor de ^P substituído acima, foi sacado das equações (66), onde foram definidos â⁺ e â. A equação no tempo desta função de onda segue a equação Schrödinger do movimento.

que tem solução

Assim,

Dessa maneira, a função de onda tem todas as propriedades clássicas exigidas:

 

 

Para o oscilador puro considerado aqui, não há limite para a amplitude є. Na prática, todavia, a maioria dos sistemas tornam-se anarmônicos para grandes amplitudes de oscilação. Mostraremos agora que, para uma amplitude infinitesimal, qualquer hamiltoniana tem as propriedades clássicas correspondentes de um oscilador harmônico.

Para qualquer hamiltoniana é possível definir os operadores de excitação e de desexcitação,  â_α⁺ e â_α, tal que

 

 

Além disso, esses operadores obedecem equações do movimento do tipo do oscilador harmônico

 

 

As coordenadas podem também ser definidas como

 

por analogia com as expressões que definem â_α⁺ e â_α, com uma escolha arbitrária do parâmetro de massa. Se gerarmos agora a função de onda dependente do tempo

Então, em virtude das relações acima, obtemos novamente as relações clássicas

 

 

Enfatizamos que essas relações são válidas para qualquer hamiltoniana. A diferença é que, para a hamiltoniana de um oscilador não harmônico, elas são válidas somente para indicação da ordem de amplitude є, que deve conseqüentemente ser infinitesimal. É significativo, portanto, descrever ^P_α e ^Q_α como coordenadas normais e as correspondentes oscilações como modos normais. Preferimos, todavia, descreve-las como pseudo-coordenadas uma vez que, como os operadores â_α⁺ e â_α, elas em geral obedecem às relações de comutação do oscilador somente quando operando sobre o estado fundamental: