Vibrações na Forma ou Esfera de Influência

V.2 – Vibrações na Forma ou Esfera de Influência

Por analogia com a gota líquida, suponhamos que a célula possa suportar oscilações na forma. A forma de uma gota líquida, sendo de densidade constante em toda a sua extensão, é definida pela especificação do raio r(θ) como função do ângulo. Por sua vez, r(θ) é caracterizado pelo conjunto de parâmetros de deformação (vetores de deslocamento) ūα,q segundo a expansão do multipolo

r(θ)

=

r0

{

1

+

Σα,qūαq*

Ψαq(θ)

}

+

0(u2)

(62)

 

com u-q = uq*.

Agora, diferentemente da gota líquida, a densidade da célula não é constante em toda a sua extensão. Mas, isto não importa. O que interessa é que a densidade mantém a sua forma radial conforme oscila. Assumamos que ela o faz para os chamados estados coletivos. A expressão para r(θ) acima aplica-se , então, para cada superfície de equi-densidade. Tais modos de oscilação são frequentemente relacionados a modos de conservação de volume ou fluxo irrotacional. Outros modos são naturalmente possíveis, mas requerem uma parametrização diferente.

A hamiltoniana descrevendo oscilações de pequena amplitude nestes modos

H

=

1

2

Σα,q

(

׀

Qαq

׀

2

+

α (q)2

׀

Qqα

׀

2

(63)

que é apenas a equação (56) reescrita, tem a bem conhecida solução clássica:

Qαq

=

εαq

cosωα (q)t

;

 

E

=

Σα,q

1

2

׀

εαq

׀

2

ωqα

2

m

(64)

O movimento é quantizado com a introdução das coordenadas do momento em (55) e exigindo que:

[

Qαq,Pαq

]

=

ou

 

[

Qαq,Pβq’

]

=

iћδα,βδq,q’

(65)

Seguindo o método usual para solução do problema do oscilador harmônico, fazemos a transformação para os operadores de fônons.

a+α,q

=

(

ωαqm

)1/2

(

Qα-q

i

ωαqm

Pαq

)

 

aα,q

=

(

ωαqm

)1/2

(

Qαq

+

i

ωαqm

Pα-q

)

(66)

Pode ser imediatamente verificado que esses operadores obedecem os comutadores

[

aα,q,a+α,q

]

=

1

ou

[

aα,q,a+α,q

]

=

δα,βδq,q’

(67)

Em termos dos operadores de fônons, o hamiltoniano coletivo torna-se

Hc

=

Σα,q

ћωα (q)

[

a+α,q.aα,q

+

1

2

]

(68 )

Aqui, temos o problema essencialmente resolvido. A função de onda do estado fundamental Φ0(Q) é definida por

aα,qΦ0(Q)

=

0

(69)

das equações do movimento.

[

H,a+α,q

]

=

ћωα (q)a+α,q

(70)

para todo o α,q.

Segue que para cada α, uma banda de estados excitados pode ser gerada do estado fundamental, por sucessiva aplicação do operador de criação a+α,q.

Os níveis de energia serão dados por

E

=

Σα,q

ћωα (q)

[

nα,q

+

1

2

]

(71)

Dizemos que há nα,q “quantas” de energia ou fônons no modo (q,α). No estado fundamental, não há nenhum fônon (nα,q=0), mas E≠0: energia do ponto zero.

O operador a+α,q (aα,q) aumenta (diminui) de ћωα (q) a energia do modo de vibração com o vetor de onda q e polarização α; ou, abreviadamente, cria (ou destrói) um fônon no modo (q,α).

 

Rowe, D.J. – Nuclear Collective Motion, Methuen & Co., London 1970.

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