A Hamiltoniana Clássica

IV.2 – A Hamiltoniana Clássica

A energia total no sólido monoatômico é:

Ec+V

=

1

2

m

Σ

l

│ůl2

+

1

2

Σ

l

Σ

h

ūl

Ğ(h)

ūl+h

(46)

O termo V acopla todos os átomos entre si.

Mediante uma transformação de coordenadas atômicas para coordenadas normais, podemos escrever a energia total como uma soma sobre osciladores independentes. As novas coordenadas são as amplitudes Uqα (que são os módulos dos vetores de deslocamento), que não se referem a nenhum átomo em particular, mas a um modo normal.

a-) A Energia Cinética

│ůl2

=

ůl·ůl

=

(

Σ

α

Σ

q

ЄqαŮqαeiql

)

·

(

Σ

β

Σ

q’

Єq’βŮq’βeiq’l

)

 

=

Σ

q

Σ

q’

ei (q+q’)l

Σ

α

Σ

β

Ůqα·Ůq’β

Єqα·Єq’β

δαβ

Então, usando (43), vem

=

Σ

α

Σ

q

Σ

q’

ei (q+q’)l

Ůqα·Ůq’α

(47)

Somando sobre os l e usando o resultado

Σ

l

eiql

=

q,0

(48 )

Vem,

Σ

l

│ůl2

=

Σ

α

Σ

q

Σ

q’

Ůqα·Ůq’α

Σ

l

ei (q+q’)l

=

N

Σ

α

Σ

q

Ůqα·Ů-qα

(49)

Donde,

Ec

=

1

2

m

N

Σ

α

Σ

q

Ůqα·Ů-qα

(50)

 

b-) A Energia Potencial

V

=

1

2

Σ

l

Σ

h

ūl

Ğ(h)

ūl+h

=

 

=

1

2

Σ

l

Σ

h

(

Σ

α

Σ

q

ЄqαUqαeiql

)

·

(

Σ

β

Σ

q’

Єq’βUq’βeiq’(l+h)

)

 

=

1

2

Σ

q

Σ

q’

Σ

l

ei (q+q’)l

 

Σ

α

Σ

β

UqαЄqα

·

(

Σ

h

Ğ(h)

eiq’h)

)

Uq’βЄq’β

 

 

 

 

 

q ,-q

 

 

 

 

 

ř(q’)

 

 

 

=

1

2

N

Σ

q

Σ

α

Σ

β

UqαЄqα

·

ř (-q)

·

U-qβЄ-qβ

 

 

 

 

 

 

 

 

β(-q)2U-qβЄ-qβ

Através de (41) e (43), vem,

=

1

2

N

Σ

q

Σ

α

Uqαα(-q)2U-qα

(51)

Rearranjando (51),

V

=

1

2

Nm

Σ

q

Σ

α

ωα(-q)2 UqαU-qα

(52)

Com ωα(-q)=ωα(q).

Define-se a coordenada normal como sendo

Qqα =√ N.Uqα;assim,

Ec

=

m

2

Σ

α

Σ

q

Qqα·Q-qα

(53)

e,

V

=

m

2

Σ

q

Σ

α

ωα(q)2QqαQ-qα

(54)

A partir da Lagrangiana L = Ec–V , obtém-se o momento canonicamente conjugado a Qqα:

Pqα

=

dL

dQ+qα

=

mQ-qα

(55)

A hamiltoniana

H

=

Σ

α,q

Pqα Q+qα

L

Fica,

H

=

Σ

α,q

(

1

2m

PqαP-qα

+

m

2

ωα(q)2QqαQ-qα

)

 

=

Σ

α,q

Hα,q

(56)

 

Onde,

 

H α,q

=

1

2m

PqαP-qα

+

m

m

ωα(q)2QqαQ-qα

Portanto, chegamos a uma soma de hamiltonianas independentes.

 

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