Dinâmica de Rede

IV – Dinâmica de Rede

Seja us,l o vetor de deslocamento de um átomo em torno de sua posição de equilíbrio numa rede cristalina, com s = 1,2,…,n sendo o índice dos átomos dentro da célula em l. Aqui, a expressão da energia potencial será:

V = Vo + ΔV({ūs,l}) (26)

Considerando pequenos deslocamentos em torno da posição de equilíbrio, o segundo membro da equação do potencial acima, desenvolvido em série de Fourier, dará a seguinte expressão para o potencial:

V

=

Vo

+

Σ

s,l

j

ujs,l

dV

dujs,l

+

 

us,l=0

1

2

Σ

s,l

j

Σ

s’,l’

j’

ujs,l

uj’s’,l’

d2V

dujs,lduj’s’,l’

+…

(27)

Na posição de equilíbrio a derivada primeira se anula. A energia cinética, então, será:

Ec

=

Σ

s,l

j

1

2

ms

ůjs,l2

(28 )

Retomando a expansão em série em (27), os termos de ordem superior serão desprezados. Por enquanto, e como a primeira derivada é nula, resta-nos o termo quadrático. Assim, chamamos essa aproximação de harmônica, pois, a energia potencial é expressa por um termo quadrático como em (25). Adotemos a notação:

d2V

dujs,lduj’s’,l’

=

G jj’s,l;s’l’

(29)

Então,

V

=

1

2

Σ

s,l

j

Σ

s’,l’

j’

ujs,l

uj’s’,l’

G jj’s,l;s’l’

=

1

2

Σ

s,l

j

Σ

s’,l’

j’

ūjs,l

Ĝ jj’s,l;s’l’

ūj’s’,l’

(30)

e,

Fjs,l

=

dV

dujs,l

=

Σ

s’,l’

j’

G jj’s,l;s’l’

uj’s’,l’

(31)

Assim,

-G
jj’s,l;s’l’

=componente j da força sobre o átomo (s,l) devido a um deslocamento unitário do átomo (s’,l’) na direção j’

Consideremos o átomo (s,l). Para o tipo de aproximação que estamos usando, F = m.a = -kx, isto é;

ms

ǖs,l

=

Σ

s’,l’

Ğs,l;s’l’

ūs’,l’

(32)

Para essa equação diferencial, procuremos soluções do tipo

ūs,l(t)=ūs,leiωt, donde ǖs,l(t)=-ω2ūs,l

Substituindo,

Σ

s’,l’

Ğs,l;s’l’

ūs’,l’

=

msω2ūs,l

(33)

Da condição de periodicidade, através do operador de translação

Ť(lo)

Ğs,l;s’l’

=

Ğs,l+lo;s’l’+lo

=

Ğs,l;s’l’

=

Ğs,s’(h)

(34)

Portanto, Ğ só depende de l’-l = h

ūs,l =Ť(lo)ūs,o=eiqlūs,o

(35)

Desta última, vê-se que os átomos vibram com mesma freqüência e amplitude, diferindo por um fator de fase dado por eiql.

Então,

ūs,l(t)=ei(ql–ωt)ūs,o

(36)

Façamos ūs,o = Ūs, q

Portanto, fazendo as substituições em (33) teremos

msω2eiqlŪs,q

=

Σ

s’,h

Ğs,s’(h)

 Ūs’,qeiq(l+h)

Ou,

msω2Ūs,q

=

Σ

s’,h

Ğs,s’(h)

 Ūs’,qeiqh

=

 

=

Σ

s’

(

Σ

h

eiqh

Ğs,s’(h)

)

Ūs’,q

=

Σ

s’

řss’(q)Ūs’,q

(37)

 

 

__________

ss’(q)

 

 

 

 

 

Donde,

Σ

s’

ss’(q)-msω2δss’Ĩ}

.

Ūs’,q

=

0

( 38 )

Tínhamos no início 3nN equações, onde N = no de Avogadro. Agora, com s = 1,2,3,…,n, em virtude do δss’ , temos que resolver 3n equações.

 

 

 

1

0

0

Ĩ

=

0

1

0

 

 

0

0

1

e

Σ

s’,j’

jj’ss’(q)-msω2δss’δjj’ )

.

Ūj’s’,q

=

0

(39)

Como essas 3n equações são lineares e homogêneas, para se ter soluções

det

jj’ss’(q)-msω2δss’δjj’}

=

0

(40)

 

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