O Tensor de Tensões como Exemplo de Tensor Campestre

O tensor de tensões é próximo, por seu sentido, à força aplicada ao cristal. Por isso, o tensor de tensões não depende da simetria do cristal, tendo sentido tanto para estes, como para os corpos isotrópicos sob tensão. Para distingui-los de tensores materiais que descrevem as propriedades físicas de cristais, e que estão vinculadas a sua simetria, semelhante tensor se chama campestre. Para descrever a deformação de um corpo, suponhamos que, durante a deformação, a posição de origem não mude e todos os demais pontos têm um certo deslocamento. Se o ponto A passa a ocupar a posição A’ e o ponto B, que se separa de A por Δx, passa a ocupar a posição B’, então A e B terão os deslocamentos expressos por uA e uB. O vetor u se chama vetor de deslocamento; ui = (xi’ – xi), i = 1, 2, 3; xi são coordenadas do corpo antes da deformação, xi’ são as coordenadas depois da deformação. Se ui = xi’ – xi = constante, Δu = 0 e as deformações estão ausentes, isto é, ocorre um translado do corpo paralelamente a si próprio.

Deformações homogêneas são aquelas para as quais as componentes do vetor de deslocamento são funções lineares das coordenadas. Os valores eij não dependem da magnitude do deslocamento.

u1

=

e11x1

+

e12x2

+

e13x3

u2

=

e21x1

+

e22x2

+

e23x3

u3

=

e31x1

+

e32x2

+

e33x3

Para o incremento dos deslocamentos, no caso de uma deformação homogênea podemos escrever:

Δu1

=

e11Δx1

+

e12Δx2

+

e13Δx3

Δu2

=

e21Δx1

+

e22Δx2

+

e23Δx3

Δu3

=

e31Δx1

+

e32Δx2

+

e33Δx3

As expressões acima determinam a interação vetor-vetorial e as nove magnitudes eij constituem um tensor de segunda ordem, isto é:

 

 

 

 

e11

e12

e13

eij

=

dui / dxj

=

e21

e22

e23

 

 

 

 

e31

e32

e33

O tensor (eij) se denomina tensor de pequenos deslocamentos. No caso geral, esse tensor não é simétrico. Sempre, porém, poderá ser representado em forma de uma soma de tensores, um simétrico e outro antissimétrico:

eij = rij + wij ; onde rij = 1 / 2 (eij + eji) = rji

Evidentemente, o tensor (rij) é simétrico e o tensor (wij) é antissimétrico, ou seja:

wij = 1 / 2 (eij – eji) = -wji

e descreve a rotação do corpo como um todo ao redor de um eixo fixo sem deslocar seus pontos entre si. O tensor (rij) representa um tensor de deformação propriamente dito. A variação relativa de volume é:

Δv / v = rii = r11 + r22 + r33

As componentes diagonais do tensor (rij): r11, r22, r33 são deformações de compressão e tração dos elementos de comprimento unitário ao longo dos eixos coordenados. As componentes não diagonais: r32, r31, r12 determinam as deformações de deslocamento, sendo, por exemplo, a magnitude 2r32 igual à variação do ângulo entre os elementos situados antes da deformação paralelamente aos eixos x2 e x3. As componentes r13 e r12 têm sentido análogo.

 

N.Perelomova, M. Taguieva – Problemas de Cristalofísica – Ed. Mir, 1975 – Moscou – URSS.

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