Propriedades Elásticas dos Cristais. A Lei de Hooke

Sob ação de tensões mecânicas, os cristais experimentam deformações. Se a magnitude da tensão é menor que o limite de elasticidade, a deformação é reversível. Sendo tensões suficientemente pequenas, a deformação é proporcional à magnitude da tensão aplicada. Se ao cristal é aplicada uma tensão uniforme arbitrária (tkl), a deformação homogênea surgida é tal que cada uma das suas componentes rij está vinculada linearmente com todas as componentes do tensor de tensões, isto é:

rij = sijkl tkl (i, j, k, l = 1, 2, 3).

Esta expressão é a lei de Hooke na sua forma generalizada, Aqui, sijkl são as constantes de compressibilidade elástica do cristal. No total, há 81 coeficientes sijkl. A lei de Hooke pode ser escrita também como

tij = cijkl rkl ,

onde os cijkl são as constantes de rigidez elástica do cristal. Os coeficientes sijkl e cijkl formam os tensores de quarta ordem. Devido à simetria do tensor de deformações e do tensor de tensões, as componentes dos tensores sijkl e cijkl são simétricas com relação aos índices i, j, k, l; isto é,

sijkl

=

sjikl

,

sijkl

=

sjikl

sijkl  

=

sijlk

,

sijkl

=

sijlk

As correlações acima reduzem o número de componentes para 36. Graças à simetria de sijkl e cijkl , podemos utilizar notações matriciais.

ri

=

sij

tj

(i, j = 1, 2, 3, 4, 5 e 6)

ti

=

cij

rj

(i, j = 1, 2, 3, 4, 5 e 6)

A introdução da expressão matricial diminui o número de somandos do segundo membro da equação inicial (rij = sijkl tkl ), porém impõe a introdução dos multiplicadores 2 e 4 segundo a regra seguinte:

sijkl

=

smn

,

quando m e n são iguais a 1, 2, 3

2sijkl

=

smn

,

quando m ou n são iguais a 4, 5, 6

4sijkl

=

smn

,

quando m e n são iguais a 4, 5, 6

 

N.Perelomova, M. Taguieva – Problemas de Cristalofísica – Ed. Mir, 1975 – Moscou – URSS.

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