Sob ação de tensões mecânicas, os cristais experimentam deformações. Se a magnitude da tensão é menor que o limite de elasticidade, a deformação é reversível. Sendo tensões suficientemente pequenas, a deformação é proporcional à magnitude da tensão aplicada. Se ao cristal é aplicada uma tensão uniforme arbitrária (tkl), a deformação homogênea surgida é tal que cada uma das suas componentes rij está vinculada linearmente com todas as componentes do tensor de tensões, isto é:
rij = sijkl tkl (i, j, k, l = 1, 2, 3).
Esta expressão é a lei de Hooke na sua forma generalizada, Aqui, sijkl são as constantes de compressibilidade elástica do cristal. No total, há 81 coeficientes sijkl. A lei de Hooke pode ser escrita também como
tij = cijkl rkl ,
onde os cijkl são as constantes de rigidez elástica do cristal. Os coeficientes sijkl e cijkl formam os tensores de quarta ordem. Devido à simetria do tensor de deformações e do tensor de tensões, as componentes dos tensores sijkl e cijkl são simétricas com relação aos índices i, j, k, l; isto é,
|
sijkl |
= |
sjikl |
, |
sijkl |
= |
sjikl |
|
sijkl |
= |
sijlk |
, |
sijkl |
= |
sijlk |
As correlações acima reduzem o número de componentes para 36. Graças à simetria de sijkl e cijkl , podemos utilizar notações matriciais.
|
ri |
= |
sij |
tj |
(i, j = 1, 2, 3, 4, 5 e 6) |
|
ti |
= |
cij |
rj |
(i, j = 1, 2, 3, 4, 5 e 6) |
A introdução da expressão matricial diminui o número de somandos do segundo membro da equação inicial (rij = sijkl tkl ), porém impõe a introdução dos multiplicadores 2 e 4 segundo a regra seguinte:
|
sijkl |
= |
smn |
, |
quando m e n são iguais a 1, 2, 3 |
|
2sijkl |
= |
smn |
, |
quando m ou n são iguais a 4, 5, 6 |
|
4sijkl |
= |
smn |
, |
quando m e n são iguais a 4, 5, 6 |
N.Perelomova, M. Taguieva – Problemas de Cristalofísica – Ed. Mir, 1975 – Moscou – URSS.
Cristal Perfeito 