V.2 – Vibrações na Forma ou Esfera de Influência
Por analogia com a gota líquida, suponhamos que a célula possa suportar oscilações na forma. A forma de uma gota líquida, sendo de densidade constante em toda a sua extensão, é definida pela especificação do raio r(θ) como função do ângulo. Por sua vez, r(θ) é caracterizado pelo conjunto de parâmetros de deformação (vetores de deslocamento) ūα,q segundo a expansão do multipolo
|
r(θ) |
= |
r0 |
{ |
1 |
+ |
Σα,qūαq* |
Ψαq(θ) |
} |
+ |
0(u2) |
(62) |
com u-q = uq*.
Agora, diferentemente da gota líquida, a densidade da célula não é constante em toda a sua extensão. Mas, isto não importa. O que interessa é que a densidade mantém a sua forma radial conforme oscila. Assumamos que ela o faz para os chamados estados coletivos. A expressão para r(θ) acima aplica-se , então, para cada superfície de equi-densidade. Tais modos de oscilação são frequentemente relacionados a modos de conservação de volume ou fluxo irrotacional. Outros modos são naturalmente possíveis, mas requerem uma parametrização diferente.
A hamiltoniana descrevendo oscilações de pequena amplitude nestes modos
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H |
= |
1 2 |
Σα,q |
( |
׀ |
Qαq |
׀ |
2 |
+ |
mωα (q)2 |
׀ |
Qqα |
׀ |
2 |
(63) |
que é apenas a equação (56) reescrita, tem a bem conhecida solução clássica:
|
Qαq |
= |
εαq |
cosωα (q)t |
; |
|
E |
= |
Σα,q |
1 2 |
׀ |
εαq |
׀ |
2 |
ωqα |
2 |
m |
(64) |
O movimento é quantizado com a introdução das coordenadas do momento em (55) e exigindo que:
|
[ |
Qαq,Pαq |
] |
= |
iћ |
ou |
|
[ |
Qαq,Pβq’ |
] |
= |
iћδα,βδq,q’ |
(65) |
Seguindo o método usual para solução do problema do oscilador harmônico, fazemos a transformação para os operadores de fônons.
|
a+α,q |
= |
( |
ωαqm 2ћ |
)1/2 |
( |
Qα-q |
– |
i ωαqm |
Pαq |
) |
|
aα,q |
= |
( |
ωαqm 2ћ |
)1/2 |
( |
Qαq |
+ |
i ωαqm |
Pα-q |
) |
(66) |
Pode ser imediatamente verificado que esses operadores obedecem os comutadores
|
[ |
aα,q,a+α,q |
] |
= |
1 |
ou
|
[ |
aα,q,a+α,q |
] |
= |
δα,βδq,q’ |
(67) |
Em termos dos operadores de fônons, o hamiltoniano coletivo torna-se
|
Hc |
= |
Σα,q |
ћωα (q) |
[ |
a+α,q.aα,q
|
+ |
1 2 |
] |
(68 ) |
Aqui, temos o problema essencialmente resolvido. A função de onda do estado fundamental Φ0(Q) é definida por
|
aα,qΦ0(Q) |
= |
0 |
(69) |
das equações do movimento.
|
[ |
H,a+α,q |
] |
= |
ћωα (q)a+α,q |
(70) |
para todo o α,q.
Segue que para cada α, uma banda de estados excitados pode ser gerada do estado fundamental, por sucessiva aplicação do operador de criação a+α,q.
Os níveis de energia serão dados por
|
E |
= |
Σα,q |
ћωα (q) |
[ |
nα,q |
+ |
1 2 |
] |
(71) |
Dizemos que há nα,q “quantas” de energia ou fônons no modo (q,α). No estado fundamental, não há nenhum fônon (nα,q=0), mas E≠0: energia do ponto zero.
O operador a+α,q (aα,q) aumenta (diminui) de ћωα (q) a energia do modo de vibração com o vetor de onda q e polarização α; ou, abreviadamente, cria (ou destrói) um fônon no modo (q,α).
Rowe, D.J. – Nuclear Collective Motion, Methuen & Co., London 1970.
Cristal Perfeito 