IV.2 – A Hamiltoniana Clássica
A energia total no sólido monoatômico é:
|
Ec+V |
= |
1 2 |
m |
Σ l |
│ůl│2 |
+ |
1 2 |
Σ l |
Σ h |
ūl |
Ğ(h) |
ūl+h |
(46) |
O termo V acopla todos os átomos entre si.
Mediante uma transformação de coordenadas atômicas para coordenadas normais, podemos escrever a energia total como uma soma sobre osciladores independentes. As novas coordenadas são as amplitudes Uqα (que são os módulos dos vetores de deslocamento), que não se referem a nenhum átomo em particular, mas a um modo normal.
a-) A Energia Cinética
|
│ůl│2 |
= |
ůl·ůl |
= |
( |
Σ α |
Σ q |
ЄqαŮqαeiql |
) |
· |
( |
Σ β |
Σ q’ |
Єq’βŮq’βeiq’l |
) |
|
= |
Σ q |
Σ q’ |
ei (q+q’)l |
Σ α |
Σ β |
Ůqα·Ůq’β |
Єqα·Єq’β δαβ |
Então, usando (43), vem
|
= |
Σ α |
Σ q |
Σ q’ |
ei (q+q’)l |
Ůqα·Ůq’α |
(47) |
Somando sobre os l e usando o resultado
|
Σ l |
eiql |
= |
Nδq,0 |
(48 ) |
Vem,
|
Σ l |
│ůl│2 |
= |
Σ α |
Σ q |
Σ q’ |
Ůqα·Ůq’α |
Σ l |
ei (q+q’)l |
= |
N |
Σ α |
Σ q |
Ůqα·Ů-qα |
(49) |
Donde,
|
Ec |
= |
1 2 |
m |
N |
Σ α |
Σ q |
Ůqα·Ů-qα |
(50) |
b-) A Energia Potencial
|
V |
= |
1 2 |
Σ l |
Σ h |
ūl |
Ğ(h) |
ūl+h |
= |
|
= |
1 2 |
Σ l |
Σ h |
( |
Σ α |
Σ q |
ЄqαUqαeiql |
) |
· |
( |
Σ β |
Σ q’ |
Єq’βUq’βeiq’(l+h) |
) |
|
= |
1 2 |
Σ q |
Σ q’ |
Σ l |
ei (q+q’)l
|
Σ α |
Σ β |
UqαЄqα |
· |
( |
Σ h |
Ğ(h) |
eiq’h) |
) |
Uq’βЄq’β |
|
|
|
|
|
|
Nδq ,-q |
|
|
|
|
|
ř(q’) |
|
|
||
|
= |
1 2 |
N |
Σ q |
Σ α |
Σ β |
UqαЄqα |
· |
ř (-q) |
· |
U-qβЄ-qβ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mωβ(-q)2U-qβЄ-qβ |
||
Através de (41) e (43), vem,
|
= |
1 2 |
N |
Σ q |
Σ α |
Uqαmωα(-q)2U-qα |
(51) |
Rearranjando (51),
|
V |
= |
1 2 |
Nm |
Σ q |
Σ α |
ωα(-q)2 UqαU-qα |
(52) |
Com ωα(-q)=ωα(q).
Define-se a coordenada normal como sendo
Qqα =√ N.Uqα;assim,
|
Ec |
= |
m 2 |
Σ α |
Σ q |
Qqα·Q-qα |
(53) |
e,
|
V |
= |
m 2 |
Σ q |
Σ α |
ωα(q)2QqαQ-qα |
(54) |
A partir da Lagrangiana L = Ec–V , obtém-se o momento canonicamente conjugado a Qqα:
|
Pqα |
= |
dL dQ+qα |
= |
mQ-qα |
(55) |
A hamiltoniana
|
H |
= |
Σ α,q |
Pqα Q+qα |
– |
L |
Fica,
|
H |
= |
Σ α,q |
( |
1 2m |
PqαP-qα |
+ |
m 2 |
ωα(q)2QqαQ-qα |
) |
|
= |
Σ α,q |
Hα,q |
(56) |
Onde,
|
H α,q |
= |
1 2m |
PqαP-qα |
+ |
m m |
ωα(q)2QqαQ-qα |
Portanto, chegamos a uma soma de hamiltonianas independentes.
Cristal Perfeito 