Dinâmica de Rede

Seja u_s,l o vetor de deslocamento de um átomo em torno de sua posição de equilíbrio numa rede cristalina, com s = 1,2,…,n sendo o índice dos átomos dentro da célula em l. Aqui, a expressão da energia potencial será:

V = Vo + ΔV({ū_s,l}) (26)

Considerando pequenos deslocamentos em torno da posição de equilíbrio, o segundo membro da equação do potencial acima, desenvolvido em série de Fourier, dará a seguinte expressão para o potencial:

Na posição de equilíbrio a derivada primeira se anula. A energia cinética, então, será:

Retomando a expansão em série em (27), os termos de ordem superior serão desprezados. Por enquanto, e como a primeira derivada é nula, resta-nos o termo quadrático. Assim, chamamos essa aproximação de harmônica, pois, a energia potencial é expressa por um termo quadrático como em (25). Adotemos a notação:

Então,

e,

Assim,

Consideremos o átomo (s,l). Para o tipo de aproximação que estamos usando, F = m.a = -kx, isto é;

Para essa equação diferencial, procuremos soluções do tipo

Substituindo,

Da condição de periodicidade, através do operador de translação

Portanto, Ğ só depende de l’-l = h

Desta última, vê-se que os átomos vibram com mesma freqüência e amplitude, diferindo por um fator de fase dado por e^iql.

Então,

Façamos ū_s,o = Ū_{s, q}

Portanto, fazendo as substituições em (33) teremos

Ou,

 

Donde,

Tínhamos no início 3nN equações, onde N = n^o de Avogadro. Agora, com s = 1,2,3,…,n, em virtude do δ_ss’ , temos que resolver 3n equações.

 

e

Como essas 3n equações são lineares e homogêneas, para se ter soluções