O Modelo Vibracional Coletivo

V – O Modelo Vibracional Coletivo

Este modelo baseia-se na analogia da célula com uma gota líquida. A determinação do momento no movimento dos átomos em torno de suas posições de equilíbrio, pelo princípio de Heisenberg, deixa-nos total incerteza em suas posições. Resulta que, mesmo no caso do sólido monoatômico, tal analogia com uma gota líquida consiste de uma distribuição de densidade em torno da posição de equilíbrio, como uma verdadeira esfera de influência do defeito. Estamos considerando o átomo fora de sua posição de equilíbrio como sendo um par lacuna-intersticial associado.

V.1 – Vibrações em Mecânica Quântica

O conceito clássico correspondente à célula vibrando, é claro, não poderá ser dado por seus auto-estados, já que, por definição, os auto-estados são estacionários. Ainda que seja dado ao estado fundamental sua evolução com o tempo

Ψ0(t)

=

Ψ0e-iω0t/ћ

(57)

sua distribuição de densidade,

ρ0(r)

=

0(t)

׀

Σ

s=1…n

δ(r-rs)

׀

Ψ1(t)>

(58 )

é estática. Aqui, s=1,2,3…n é o índice do átomo na célula.

Para que se estabeleça uma correspondência clássica para uma densidade oscilante, devemos examinar uma descrição dependente do tempo. Consideremos a função

Ψ(t)

=

Ψe-iω0t/ћ

+

ε Ψxe-iωxt/ћ

(59)

onde ε é a amplitude de oscilação, infinitesimal, e Ψx é um auto-estado excitado da célula. A distribuição de densidade para esta função de onda dependente do tempo, diferente daquela para o estado estacionário, oscila harmonicamente sobre sua distribuição do estado fundamental:

ρ(r,t)

=

<Ψ(t)

׀

Σ

s=1…n

δ(r-rs)

׀

Ψ(t)>

=

=

ρ0(r)

+

2εcosωtρ0x(r)

+

0(ε2)

(60)

com ρ0x(r) sendo a densidade de transição para o auto-estado excitado

ρ0x(r)

=

0

׀

Σ

s=1…n

δ(r-rs)

׀

Ψk>

(61)

Com Ψ(t) dependendo do tempo, vemos que o movimento não é amortecido, ou seja, ele não pode perder energia para nenhum outro modo e, portanto, é bem descrito como um modo normal de oscilação.

O que descrevemos foi a correspondência clássica para vibrações harmônicas no limite de pequena amplitude. Note-se que no limite de pequena amplitude não há implicação de que a hamiltoniana é harmônica.

No modelo coletivo, todavia, quando este resultado é extrapolado para amplitudes maiores, para fornecer um espectro completo de níveis de energia, a hamiltoniana harmônica é assumida. Com isso, fica estabelecido que vibrações de densidade existem tanto quanto estados excitados. Por outro lado, se considerarmos os átomos dentro da célula indistinguíveis, qualquer modo corresponderá ao efeito soma de todos os átomos e poderia ser satisfatoriamente descrito como “coletivo”.

 

Rowe, D.J. – Nuclear Collective Motion, Methuen & Co., London 1970.

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