Parte 4 – Sistemas Autônomos Lineares
Uma vez que os sistemas lineares bidimensionais podem exibir qualquer dos comportamentos acima, torna-se apropriado estudar sistemas lineares antes de partir para sistemas não lineares. Com isto em mente, introduzimos um método fácil para resolver sistemas lineares autônomos.
O método usa álgebra matricial elementar. Um sistema autônomo bidimensional linear
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dy1/dt |
= |
ay1+by2 |
(120) |
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dy2/dt |
= |
cy1+dy2 |
deve ser reescrito na forma
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dY/dt |
= |
MY |
(121) |
É fácil verificar que se os auto-valores λ1 e λ2 da matriz M são distintos, e V1 e V2 são auto-vetores de M associados com os auto-valores λ1 e λ2 , então a solução geral de (121) tem a forma
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Y(t) |
= |
C1V1eλ1t +C2V2eλ2t |
(122) |
onde C1 e C2 são constantes de integração que são determinadas pela posição inicial Y(0).
O sistema linear em (121) tem um ponto crítico na origem (0,0). è fácil classificar esse ponto crítico desde que λ1 e λ2 sejam conhecidos. Note-se que λ1 e λ2 satisfazem a condição de auto-valores
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det[M-Iλ] |
= |
det |
a-λ |
b |
= |
λ2-λ(a+d)+ad-bc |
= |
0 |
(123) |
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c |
d-λ |
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Se λ1 e λ2 são reais e negativos, então todas as trajetórias aproximam-se da origem quando t→ +∞ e (0,0) é um nó estável. Por outro lado, se λ1 e λ2 são reais e positivos, então todas as trajetórias afastam-se da origem (0,0) quando t→ +∞ e (0,0) é um nó instável. Também, se λ1 e λ2 são reais mas se λ1 é positivo e λ2 é negativo, então (0,0) é um ponto de sela; isto é, as trajetórias aproximam-se da origem na direção V2 e afastam-se na direção V1.
As soluções λ1 e λ2 de (123) podem ser complexas. Todavia, quando a matriz M é real, então λ1 e λ2 devem ser uma par complexo conjugado. Se λ1 e λ2 são imaginários puros, então o vetor Y(t) representa uma órbita fechada para qualquer C1 e C2 e o ponto crítico (0,0) é um centro. Se λ1 e λ2 são complexos com partes reais não nulas, então o ponto crítico (0,0) é um ponto de espiral. Quando a parte real Re λ1,2 < 0, então Y(t) → 0 quando t→ +∞ e (0,0) é um ponto de espiral estável; por outro lado, quando Re λ1,2 > 0, então (0,0) é um ponto de espiral instável.
A figura abaixo ilustra razoavelmente o que seja ponto de espiral estável. Lembrar que pelo teorema da existência e unicidade das equações diferenciais, as trajetórias descritas pelos pontos no espaço-fase não devem se cruzar.
PIA09579: A Galáxia M81 Fica Linda de Rosa. Cortesia da NASA/JPL-Caltech/ESA/Harvard-Smithsonian CfA
[N.T. – O texto que segue é uma Cortesia do Laboratório de Jato-Propulsão da NASA]. A pitoresca galáxia espiralada conhecida como Messier 81, ou M81, aparece como exatamente é nesta nova composição dos telescópios Spitzer e Hubble e do Explorador da Evolução das Galáxias da NASA. A M81 é uma galáxia espiral “bem definida”, o que significa que todos os seus elegantes braços curvam-se na direção do seu centro (o que seria o ponto crítico). Ela está localizada cerca de 12 milhões de anos-luz de distância, na constelação da Ursa Maior, e é uma das mais brilhantes galáxias que podem ser vistas da terra através de telescópios.
As cores na figura representam um trio de comprimentos de onda: o azul corresponde à luz ultravioleta capturada pelo Explorador da Evolução de Galáxias; o amarelo-esmaecido corresponde à banda de luz visível vista pelo Hubble; e o vermelho corresponde à luz infravermelha detectada pelo Spitzer (lembrar que as bandas do infravermelho e ultravioleta não são visíveis a olho nu). As áreas azuladas mostram as mais quentes e jovens estrelas, enquanto as áreas róseas denotam rastros de poeira que seguem os braços da espiral. O centro alaranjado é constituído de velhas estrelas.
A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)
A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 2)
A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 3)
A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 5)
Marcos Ubirajara de Carvalho e Camargo é Bacharel em Física pela PUC/SP, Mestre em Tecnologia Nuclear pelo IPEN-USP/SP-Brasil, e um estudioso do Budismo desde 1987. Das suas reflexões acerca das relações e paralelos entre os ensinamentos do Budismo e a Ciência, surgiu a decisão de realizar esse trabalho de tradução com o objetivo de dar acesso aos muitos milhões de pessoas de lingua portuguesa aos profundos ensinos do Buda Shakyamuni, cristalizados neste Sutra do Grande Veículo chamado Sutra da Flor de Lótus da Lei Maravilhosa, considerado o mais importante dos Sutras Mahayana.
