Parte 5 – Análise do Ponto Crítico de Sistemas Não-Lineares Bidimensionais
Para ilustrar a utilidade e o poder da análise local do ponto crítico, nós a usaremos para deduzir as características globais de sistemas não lineares. A aproximação que usaremos será a seguinte: primeiro, identificaremos os pontos críticos; então, faremos uma análise local do sistema, muito próximo a esse ponto crítico, levando em conta o que o sistema exato poderá usualmente ser aproximado por um sistema autônomo linear próximo a um ponto crítico. Usando análise matricial, identificaremos a natureza do ponto crítico do sistema linear. Finalmente, reuniremos os resultados da nossa análise local e sintetizaremos um quadro global qualitativo da solução para um sistema não linear.
Exemplo 1
O sistema não linear,
|
dy1/dt |
= |
y1-y1y2 |
(124) |
|
dy2/dt |
= |
-y2+y1y2 |
conhecido como equações de Volterra, é um modelo simples de uma relação presa-predador entre duas populações como de coelhos e raposas, ou de lacunas e instersticiais: y1 (a população de coelhos) crescerá além dos limites (exponencialmente) e y2 (a população de raposas) for zero. Todavia, se y1 é zero, então y2 decairá para zero em virtude da fome (exponencialmente).
O que acontece se y1 e y2 são inicialmente positivos?
Há dois pontos críticos, (0,0) e (1,1). Próximo a (0,0), tomaremos (y1,y2) = (ε1,ε2) e aproximaremos a equação diferencial exata para:
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dε1/dt |
≈ |
ε1 |
(para ε1,ε2 →0) |
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dε2/dt |
≈ |
ε2 |
A solução para este sistema exibe comportamento de ponto de sela; trajetórias próximas a (0,0) aproximam-se da origem verticalmente e afastam-se horizontalmente quando t→+∞.
Próximo ao ponto (1,1), faremos (y1,y2) = (1+ε1,1+ε2) e aproximaremos a equação exata para:
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dε1/dt |
≈ |
-ε2 |
(para ε1,ε2 →0) |
|
dε2/dt |
≈ |
ε1 |
Os auto-valores da matriz M para este sistema linear são ±i. Portanto, o ponto crítico em (1,1) é um centro tendo órbitas fechadas no sentido anti-horário quando t→+∞. A rotação no sentido anti-horário em torno de (1,1) é consistente com as direções de aproximação e afastamento das trajetórias próximas ao ponto de sela.
O que podemos inferir acerca do comportamento global?
Suponha-se que a condição inicial fosse y1(0)=y2(0)=a (0<a<1). Então, conforme t aumentasse de zero, o vetor [y1(t),y2(t)] mover-se-ia no sentido anti-horário em torno de (1,1). (Se ele se movesse no sentido horário, nós teríamos comportamento descontínuo porque para a suficientemente próximo de 1, nós sabemos que o sentido é anti-horário. Verifica-se diretamente de (124) que o sentido é anti-horário). Conforme t aumenta, o vetor deve continuar a girar em torno de (1,1). Ele não pode cruzar os eixos y1 e y2 porque esses são trajetórias em si. Uma análise profunda mostra que esta trajetória não pode aproximar-se do infinito. Portanto, para um certo t, o vetor deve rodear o ponto (1,1) e, eventualmente, reatravessar a linha que liga (0,0) e (1,1). Além disso, ele deve cruzar o ponto inicial (a,a).
Em resumo, todas as trajetórias em (124) com y1(0)>0,y2(0)>0 são fechadas e envolvem o ponto (1,1) indiferente da condição inicial para t=0. Isto nos faz lembrar dos sistemas planetários que, embora sua condição inicial seja apenas presumida pela ciência, vem a exibir este tipo de comportamento mostrado na figura. Também chamamos estes de sistemas estacionários.
Assim, as populações y1 e y2 oscilam com o tempo. Todavia, é importante notar que enquanto a conclusão de que as trajetórias são exatamente fechadas é correta, ela não pode ser justificada somente pela análise local. Embora seja freqüentemente possível inferir o comportamento global da análise local de pontos críticos instáveis e estáveis, neste exemplo a análise local dá uma descrição incompleta da natureza das trajetórias no espaço-fase.
A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)
A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 2)
A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 3)
A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 4)
Marcos Ubirajara de Carvalho e Camargo é Bacharel em Física pela PUC/SP, Mestre em Tecnologia Nuclear pelo IPEN-USP/SP-Brasil, e um estudioso do Budismo desde 1987. Das suas reflexões acerca das relações e paralelos entre os ensinamentos do Budismo e a Ciência, surgiu a decisão de realizar esse trabalho de tradução com o objetivo de dar acesso aos muitos milhões de pessoas de lingua portuguesa aos profundos ensinos do Buda Shakyamuni, cristalizados neste Sutra do Grande Veículo chamado Sutra da Flor de Lótus da Lei Maravilhosa, considerado o mais importante dos Sutras Mahayana.
