A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 5)

Parte 5  – Análise do Ponto Crítico de Sistemas Não-Lineares Bidimensionais

Para ilustrar a utilidade e o poder da análise local do ponto crítico, nós a usaremos para deduzir as características globais de sistemas não lineares. A aproximação que usaremos será a seguinte: primeiro, identificaremos os pontos críticos; então, faremos uma análise local do sistema, muito próximo a esse ponto crítico, levando em conta o que o sistema exato poderá usualmente ser aproximado por um sistema autônomo linear próximo a um ponto crítico. Usando análise matricial, identificaremos a natureza do ponto crítico do sistema linear. Finalmente, reuniremos os resultados da nossa análise local e sintetizaremos um quadro global qualitativo da solução para um sistema não linear.

Exemplo 1

O sistema não linear,

dy1/dt

=

y1-y1y2

(124)

dy2/dt

=

-y2+y1y2

conhecido como equações de Volterra, é um modelo simples de uma relação presa-predador entre duas populações como de coelhos e raposas, ou de lacunas e instersticiais: y1 (a população de coelhos) crescerá além dos limites (exponencialmente) e y2 (a população de raposas) for zero. Todavia, se y1 é zero, então y2 decairá para zero em virtude da fome (exponencialmente).

O que acontece se y1 e y2 são inicialmente positivos?

Há dois pontos críticos, (0,0) e (1,1). Próximo a (0,0), tomaremos (y1,y2) = (ε12) e aproximaremos a equação diferencial exata para:

1/dt

ε1

(para ε12 →0)

2/dt

ε2

A solução para este sistema exibe comportamento de ponto de sela; trajetórias próximas a (0,0) aproximam-se da origem verticalmente e afastam-se horizontalmente quando t→+∞.

Próximo ao ponto (1,1), faremos (y1,y2) = (1+ε1,1+ε2) e aproximaremos a equação exata para:

1/dt

2

(para ε12 →0)

2/dt

ε1

Os auto-valores da matriz M para este sistema linear são ±i. Portanto, o ponto crítico em (1,1) é um centro tendo órbitas fechadas no sentido anti-horário quando t→+∞. A rotação no sentido anti-horário em torno de (1,1) é consistente com as direções de aproximação e afastamento das trajetórias próximas ao ponto de sela.

O que podemos inferir acerca do comportamento global?

Suponha-se que a condição inicial fosse y1(0)=y2(0)=a (0<a<1). Então, conforme t aumentasse de zero, o vetor [y1(t),y2(t)] mover-se-ia no sentido anti-horário em torno de (1,1). (Se ele se movesse no sentido horário, nós teríamos comportamento descontínuo porque para a suficientemente próximo de 1, nós sabemos que o sentido é anti-horário. Verifica-se diretamente de (124) que o sentido é anti-horário). Conforme t aumenta, o vetor deve continuar a girar em torno de (1,1). Ele não pode cruzar os eixos y1 e y2 porque esses são trajetórias em si. Uma análise profunda mostra que esta trajetória não pode aproximar-se do infinito. Portanto, para um certo t, o vetor deve rodear o ponto (1,1) e, eventualmente, reatravessar a linha que liga (0,0) e (1,1). Além disso, ele deve cruzar o ponto inicial (a,a).

Em resumo, todas as trajetórias em (124) com y1(0)>0,y2(0)>0 são fechadas e envolvem o ponto (1,1) indiferente da condição inicial para t=0. Isto nos faz lembrar dos sistemas planetários que, embora sua condição inicial seja apenas presumida pela ciência, vem a exibir este tipo de comportamento mostrado na figura. Também chamamos estes de sistemas estacionários.

Assim, as populações y1 e y2 oscilam com o tempo. Todavia, é importante notar que enquanto a conclusão de que as trajetórias são exatamente fechadas é correta, ela não pode ser justificada somente pela análise local. Embora seja freqüentemente possível inferir o comportamento global da análise local de pontos críticos instáveis e estáveis, neste exemplo a análise local dá uma descrição incompleta da natureza das trajetórias no espaço-fase.

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 2)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 3)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 4)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 6)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 7)

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