Parte 3 – Espaço-Fase Bidimensional
O espaço-fase bidimensional (plano de fase) é usado para estudar um sistema de duas equações acopladas de primeira ordem. Os possíveis comportamentos globais de uma trajetória num sistema bidimensional são:
- a trajetória deve aproximar-se de um ponto crítico quando t→ +∞.
- a trajetória deve aproximar-se de +∞ quando t→ +∞.
- a trajetória deve permanecer imóvel para (em relação a) um ponto crítico para todos os t.
- a trajetória deve descrever uma órbita fechada ou círculo.
- a trajetória deve aproximar-se de uma órbita fechada (subindo ou descendo na direção da órbita) quando t→ ∞. (Estas seriam oscilações sobre os auto-estados do modelo vibracional coletivo?).
As primeiras três possibilidades também ocorrem nos sistemas unidimensionais. Mas, a quarta e quinta possibilidades, não podem ocorrer num espaço-fase de menos de duas dimensões.
Em seguida, enumeraremos os possíveis comportamentos globais para trajetórias próximas a um ponto crítico:
- todas as trajetórias devem aproximar-se do ponto crítico ao longo de curvas que são linhas assintóticas a retas (que jamais se tocam) quando t→ +∞. Chama-se tal ponto crítico de nó estável.
- todas as trajetórias devem aproximar-se do ponto crítico ao longo de curvas espirais quando t→ +∞. Tal ponto crítico é chamado de ponto de espiral estável. (É possível também que as trajetórias se aproximem do ponto crítico por curvas que não são nem espirais e nem linhas assintóticas a retas).
- todas as trajetórias reversas (isto é y(t) com t decrescente) devem mover-se na direção do ponto crítico ao longo de caminhos que são linhas assintóticas a retas quando t→ -∞. Tal ponto crítico é chamado nó instável. Quando t aumenta, todas as trajetórias que começam próximas a um nó instável, devem afastar-se do nó ao longo de linhas que são aproximadamente retas, pelo menos até que a trajetória se encontre longe do nó.
- todas as trajetórias reversas devem mover-se na direção do ponto crítico ao longo de curvas espirais quando t→ -∞. Tal ponto crítico é chamado ponto de espiral instável. Conforme t aumenta, todas as trajetórias afastam-se de um ponto de espiral instável ao longo de trajetórias que têm, pelo menos inicialmente, a forma de espirais.
- algumas trajetórias devem aproximar-se de um ponto crítico enquanto outras afastam-se do ponto crítico quando t→ +∞. Tal ponto crítico é chamado ponto de sela.
- todas as trajetórias devem formar órbitas fechadas em torno do ponto crítico. Tal ponto crítico é chamado centro.
Note-se que enquanto nós e pontos de sela ocorrem no espaço-fase unidimensional, espirais e centros não podem existir em menos que duas dimensões. A indissociabilidade, por exemplo, do par lacuna-intersticial nos dá as duas dimensões mínimas.
A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)
A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 2)
A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 4)
A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 5)
Marcos Ubirajara de Carvalho e Camargo é Bacharel em Física pela PUC/SP, Mestre em Tecnologia Nuclear pelo IPEN-USP/SP-Brasil, e um estudioso do Budismo desde 1987. Das suas reflexões acerca das relações e paralelos entre os ensinamentos do Budismo e a Ciência, surgiu a decisão de realizar esse trabalho de tradução com o objetivo de dar acesso aos muitos milhões de pessoas de lingua portuguesa aos profundos ensinos do Buda Shakyamuni, cristalizados neste Sutra do Grande Veículo chamado Sutra da Flor de Lótus da Lei Maravilhosa, considerado o mais importante dos Sutras Mahayana.
