A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 3)

Parte 3 – Espaço-Fase Bidimensional

O espaço-fase bidimensional (plano de fase) é usado para estudar um sistema de duas equações acopladas de primeira ordem. Os possíveis comportamentos globais de uma trajetória num sistema bidimensional são:

  1. a trajetória deve aproximar-se de um ponto crítico quando t→ +∞.
  2. a trajetória deve aproximar-se de +∞ quando t→ +∞.
  3. a trajetória deve permanecer imóvel para (em relação a) um ponto crítico para todos os t.
  4. a trajetória deve descrever uma órbita fechada ou círculo.
  5. a trajetória deve aproximar-se de uma órbita fechada (subindo ou descendo na direção da órbita) quando t→ ∞. (Estas seriam oscilações sobre os auto-estados do modelo vibracional coletivo?).

As primeiras três possibilidades também ocorrem nos sistemas unidimensionais. Mas, a quarta e quinta possibilidades, não podem ocorrer num espaço-fase de menos de duas dimensões.

Em seguida, enumeraremos os possíveis comportamentos globais para trajetórias próximas a um ponto crítico:

  1. todas as trajetórias devem aproximar-se do ponto crítico ao longo de curvas que são linhas assintóticas a retas (que jamais se tocam) quando t→ +∞. Chama-se tal ponto crítico de nó estável.
  2. todas as trajetórias devem aproximar-se do ponto crítico ao longo de curvas espirais quando t→ +∞. Tal ponto crítico é chamado de ponto de espiral estável. (É possível também que as trajetórias se aproximem do ponto crítico por curvas que não são nem espirais e nem linhas assintóticas a retas).
  3. todas as trajetórias reversas (isto é y(t) com t decrescente) devem mover-se na direção do ponto crítico ao longo de caminhos que são linhas assintóticas a retas quando t→ -∞. Tal ponto crítico é chamado nó instável. Quando t aumenta, todas as trajetórias que começam próximas a um nó instável, devem afastar-se do nó ao longo de linhas que são aproximadamente retas, pelo menos até que a trajetória se encontre longe do nó.
  4. todas as trajetórias reversas devem mover-se na direção do ponto crítico ao longo de curvas espirais quando t→ -∞. Tal ponto crítico é chamado ponto de espiral instável. Conforme t aumenta, todas as trajetórias afastam-se de um ponto de espiral instável ao longo de trajetórias que têm, pelo menos inicialmente, a forma de espirais.
  5. algumas trajetórias devem aproximar-se de um ponto crítico enquanto outras afastam-se do ponto crítico quando t→ +∞. Tal ponto crítico é chamado ponto de sela.
  6. todas as trajetórias devem formar órbitas fechadas em torno do ponto crítico. Tal ponto crítico é chamado centro.

Note-se que enquanto nós e pontos de sela ocorrem no espaço-fase unidimensional, espirais e centros não podem existir em menos que duas dimensões. A indissociabilidade, por exemplo, do par lacuna-intersticial nos dá as duas dimensões mínimas.

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 2)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 4)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 5)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 6)

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 7)

%d blogueiros gostam disto: