VI.1 – A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)
Parte 1 – O Espaço-Fase de Equações Autônomas
O sistema de equações em (105) e (106), por não conter a variável independente de forma explícita, é dito ser um sistema autônomo não linear. Sistemas autônomos de equações, quando são interpretados como descrevendo o movimento de um ponto no espaço-fase, são particularmente susceptíveis a algumas técnicas muito elegantes de análise local. Fazendo-se a análise local do sistema, próximo ao que conhecemos como pontos críticos, podemos fazer previsões notavelmente precisas acerca das
propriedades globais da solução.
É conveniente estudar o comportamento aproximado de uma equação autônoma de ordem n, quando ela está na forma de um sistema de n equações de primeira ordem acopladas. Também, por convenção, entenderemos a variável independente do sistema como sendo o tempo t, e as variáveis dependentes y1, y2,…,yn como coordenadas de posição. A forma geral de tal sistema é:
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dy1/dt |
= |
f1(y1, y2,…,yn) |
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dy2/dt |
= |
f2(y1, y2,…,yn) |
(118 ) |
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. . . |
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dyn/dt |
= |
fn(y1, y2,…,yn) |
|
A solução do sistema em (118 ) é uma curva ou trajetória no espaço n-dimensional chamado espaço-fase. A trajetória é parametrizada em termos de t: y1=y1(t); y2=y2(t);… yn=yn(t).
Assumiremos que f1, f2,…fn são continuamente diferenciáveis com relação a cada um de seus argumentos. Assim, pelo teorema da existência e unicidade das equações diferenciais, qualquer condição inicial y1(0)=a1, y2(0)=a2,…yn(0)=an, dá origem a uma única trajetória através dos pontos (a1, a2,…an).
Para compreender melhor essa propriedade de unicidade geometricamente, note-se que para cada ponto na trajetória [y1(t), y2(t),…yn(t)], o sistema (118 ) associa um único vetor de velocidade [dy1/dt, dy2/dt,…dyn/dt] que é tangente à trajetória naquele ponto. Segue-se, imediatamente, que duas trajetórias não podem cruzar-se; de outra forma, o vetor tangente ao ponto de intersecção não será único.
A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 2)
A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 3)
A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 4)
A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 5)
Marcos Ubirajara de Carvalho e Camargo é Bacharel em Física pela PUC/SP, Mestre em Tecnologia Nuclear pelo IPEN-USP/SP-Brasil, e um estudioso do Budismo desde 1987. Das suas reflexões acerca das relações e paralelos entre os ensinamentos do Budismo e a Ciência, surgiu a decisão de realizar esse trabalho de tradução com o objetivo de dar acesso aos muitos milhões de pessoas de lingua portuguesa aos profundos ensinos do Buda Shakyamuni, cristalizados neste Sutra do Grande Veículo chamado Sutra da Flor de Lótus da Lei Maravilhosa, considerado o mais importante dos Sutras Mahayana.
