A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)

VI.1 – A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 1)

Parte 1 – O Espaço-Fase de Equações Autônomas

O sistema de equações em (105) e (106), por não conter a variável independente de forma explícita, é dito ser um sistema autônomo não linear. Sistemas autônomos de equações, quando são interpretados como descrevendo o movimento de um ponto no espaço-fase, são particularmente susceptíveis a algumas técnicas muito elegantes de análise local. Fazendo-se a análise local do sistema, próximo ao que conhecemos como pontos críticos, podemos fazer previsões notavelmente precisas acerca das
propriedades globais da solução.

É conveniente estudar o comportamento aproximado de uma equação autônoma de ordem n, quando ela está na forma de um sistema de n equações de primeira ordem acopladas. Também, por convenção, entenderemos a variável independente do sistema como sendo o tempo t, e as variáveis dependentes y1, y2,…,yn como coordenadas de posição. A forma geral de tal sistema é:

dy1/dt

=

f1(y1, y2,…,yn)

 

dy2/dt

=

f2(y1, y2,…,yn)

(118 )

.

.

.

 

 

 

dyn/dt

=

fn(y1, y2,…,yn)

 

A solução do sistema em (118 ) é uma curva ou trajetória no espaço n-dimensional chamado espaço-fase. A trajetória é parametrizada em termos de t: y1=y1(t); y2=y2(t);… yn=yn(t).

Assumiremos que f1, f2,…fn  são continuamente diferenciáveis com relação a cada um de seus argumentos. Assim, pelo teorema da existência e unicidade das equações diferenciais, qualquer condição inicial y1(0)=a1, y2(0)=a2,…yn(0)=an, dá origem a uma única trajetória através dos pontos (a1, a2,…an).

Para compreender melhor essa propriedade de unicidade geometricamente, note-se que para cada ponto na trajetória [y1(t), y2(t),…yn(t)], o sistema (118 ) associa um único vetor de velocidade [dy1/dt, dy2/dt,…dyn/dt] que é tangente à trajetória naquele ponto. Segue-se, imediatamente, que duas trajetórias não podem cruzar-se; de outra forma, o vetor tangente ao ponto de intersecção não será único.

 

A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 2)

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