A Análise Local das Equações da Difusão (Parte 4)

Parte 4  – Sistemas Autônomos Lineares

Uma vez que os sistemas lineares bidimensionais podem exibir qualquer dos comportamentos acima, torna-se apropriado estudar sistemas lineares antes de partir para sistemas não lineares. Com isto em mente, introduzimos um método fácil para resolver sistemas lineares autônomos.

O método usa álgebra matricial elementar. Um sistema autônomo bidimensional linear

 

 

deve ser reescrito na forma

É fácil verificar que se os auto-valores λ₁ e λ₂ da matriz M são distintos, e V₁ e V₂ são auto-vetores de M associados com os auto-valores λ₁ e λ₂ , então a solução geral de (121) tem a forma

onde C₁ e C₂ são constantes de integração que são determinadas pela posição inicial Y(0).

O sistema linear em (121) tem um ponto crítico na origem (0,0). è fácil classificar esse ponto crítico desde que λ₁ e λ₂ sejam conhecidos. Note-se que λ₁ e λ₂ satisfazem a condição de auto-valores

Se λ₁ e λ₂ são reais e negativos, então todas as trajetórias aproximam-se da origem quando t→ +∞ e (0,0) é um nó estável. Por outro lado, se λ₁ e λ₂ são reais e positivos, então todas as trajetórias afastam-se da origem (0,0) quando t→ +∞ e (0,0) é um nó instável. Também, se λ₁ e λ₂ são reais mas se λ₁ é positivo e λ₂ é negativo, então (0,0) é um ponto de sela; isto é, as trajetórias aproximam-se da origem na direção V₂ e afastam-se na direção V₁.

As soluções λ₁ e λ₂ de (123) podem ser complexas. Todavia, quando a matriz M é real, então λ₁ e λ₂ devem ser uma par complexo conjugado. Se λ₁ e λ₂ são imaginários puros, então o vetor Y(t) representa uma órbita fechada para qualquer C₁ e C₂ e o ponto crítico (0,0) é um centro. Se λ₁ e λ₂ são complexos com partes reais não nulas, então o ponto crítico (0,0) é um ponto de espiral. Quando a parte real Re λ_1,2 < 0, então Y(t) → 0 quando t→ +∞ e (0,0) é um ponto de espiral estável; por outro lado, quando Re λ_1,2 > 0, então (0,0) é um ponto de espiral instável.

A figura abaixo ilustra razoavelmente o que seja ponto de espiral estável. Lembrar que pelo teorema da existência e unicidade das equações diferenciais, as trajetórias descritas pelos pontos no espaço-fase não devem se cruzar.

[N.T. – O texto que segue é uma Cortesia do Laboratório de Jato-Propulsão da NASA]. A pitoresca galáxia espiralada conhecida como Messier 81, ou M81, aparece como exatamente é nesta nova composição dos telescópios Spitzer e Hubble e do Explorador da Evolução das Galáxias da NASA. A M81 é uma galáxia espiral “bem definida”, o que significa que todos os seus elegantes braços curvam-se na direção do seu centro (o que seria o ponto crítico). Ela está localizada cerca de 12 milhões de anos-luz de distância, na constelação da Ursa Maior, e é uma das mais brilhantes galáxias que podem ser vistas da terra através de telescópios.

As cores na figura representam um trio de comprimentos de onda: o azul corresponde à luz ultravioleta capturada pelo Explorador da Evolução de Galáxias; o amarelo-esmaecido corresponde à banda de luz visível vista pelo Hubble; e o vermelho corresponde à luz infravermelha detectada pelo Spitzer (lembrar que as bandas do infravermelho e ultravioleta não são visíveis a olho nu). As áreas azuladas mostram as mais quentes e jovens estrelas, enquanto as áreas róseas denotam rastros de poeira que seguem os braços da espiral. O centro alaranjado é constituído de velhas estrelas.